Лекция 7 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

1. Понятие о статически неопределимых системах Статически неопределимой называется система, внутренние усилия которой нельзя определить только из уравнений статики. Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом свойств: они надежнее; выдерживают большую негрузку; у них деформации меньше; изменение температуры, смещение опор, неточность изготовления элементов вызывают дополнительные усилия; внутренние усилия зависят от физических и геометрических характеристик элементов. У СНС есть «лишние» связи. Число лишних связей называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости n простой системы определяется из дискового аналога по формуле Степень статической неопределимости фермы определяется по формуле

Получим другую формулу. Для этого введем два понятия: замкнутый контур – замкнутая цепь из элементов и связей; удалённая связь – связь замкнутого контура, исключенная из жесткого соединения элементов. Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура равна трем. Поэтому степень статической неопределимости системы из n к замкнутых контуров, из которых удалены n уд связей, будет n=3n к – n уд. Для балки: n=3 2–5=1 Для рамы: n=3 2–4=2.

Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС). Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на следующих рисунках. Одна из этих схем ГНС и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за ОС. 2. Выбор основной системы У этой балки, которую будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС.

В расчетах линейно-упругих систем используется гипотеза о том, что внешняя негрузка в элементах заданной системы распределяется единственным образом. Следовательно, результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее оптимальную. Например, в нашем примере первый вариант ОС предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче. Основная система должна быть: обязательно геометрически неизменяемой; простой для расчета; учитывать характерные особенности сооружения и негрузки.

3. Сущность метода сил В этом методе за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому его называют методом сил. Рассмотрим предыдущую балку и потребуем, чтобы ЗС и ее ОС были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи в ОС должно равняться нулю: =0. Т.к. сила X неизвестна, X определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1. По принципу суперпозиции, перемещение равно сумме перемещения X от реакции X и перемещения P от заданной силы P : = X + P =0. Перемещение от единичной силы называется податливостью. В линейно-упругой системе выполняется условие X = X. Тогда получаем каноническое уравнение метода сил: X+ P =0. Из него определяется неизвестная сила: X= – P /.

Если в системе имеется n лишних связей, то они исключаются и выбирается ОС с n неизвестными X 1, X 2,, X n. Из условий эквивалентности ЗС и ее ОС составляются n уравнений совместности деформаций. При рассмотрении n единичных состояний основной системы эти уравнения приводятся к системе уравнений: Здесь главные коэффициенты – боковые коэффициенты, iP грузовые коэффициенты. Введем мартичные обозначения: система канонических уравнений метода сил март. податливости Тогда система канонических уравнений примет вид X + P = 0. Из нее X = – –1 P, где –1 обратная мартица податливости. вект. неизв.вект. негр. нуль-вект.

4. Определение коэффициентов канонических уравнений Коэффициенты при неизвестных ij и грузовые коэффициенты iP системы канонических уравнений – возможные перемещения от единичных сил и негрузки. У них есть два индекса. Первый индекс i указывает на направление, а второй индекс j (или P ) – на причину. Рассмотрим условную статически неопределимую систему (ЗС) и ее основную систему (ОС): ЗС ОС Затем рассмотрим два единичных состояния ОС, в которых действуют только единичные силы: i -е ЕС j- е ЕС

Если в этих состояниях возникают внутренние усилия и, то возможная работа сил i -го состояния на деформациях j -го состояния будет С другой стороны, возможная работа внешних сил i -го состояния на перемещениях j- го состояния равна W ij =1 ij = ij. По принципу возможных перемещений W ij =–V ij. Из их равенства получаем формула вычисления коэффициентов при неизвестных

Теорема Максвелла. Перемещение в i -ом направлении от единичной силы в j -ом направлении равна перемещению в j -ом направлении от единичной силы в i-ом направлении, т.е. ij = ji. Доказательство. Возможную работу сил i -го единичного состояния на перемещениях j -го состояния мы уже определили: W ij = ij. А возможная работа сил j -ого состояния на перемещениях i -го состояния равна (см. рис.): W ji =1 ji = ji. По теореме Бетти W ij =W ji. Следовательно, ij = ji. Эта теорема позволяет уменьшать объем вычислений при вычислении боковых коэффициентов системы канонических уравнений.

Выведем формулу вычисления грузовых коэффициентов. По принципу возможных перемещений W iP =–V iP. Отсюда формула вычисления грузовых коэффициентов Возможная работа сил ЕС на перемещениях ГС равна: W iP =1 iP = iP. С другой стороны, возможная работа внутренних сил i-го единичного состояния на деформациях грузового состояния равна: i -е ЕС Для этого рассмотрим i -е единичное состояние и грузовое состояние (ГС) основной системы: ГСГС

В рамах и балках перемещения определяются в основном изгибными деформациями. Поэтому коэффициенты канонических уравнений можно вычислять по сокращенным формулам: Здесь знак использован для сокращения записи формулы вычисления интеграла Мора и означает условное «произведение» двух эпюр.