Представление трехмерных преобразований. Представление трехмерных преобразований.

1. перенос Перенос точки Р(x,y,z) в точку Р`(x`,y`,z`) описывается системой уравнений: x`= x± λ y`= y± μ z`= z± ν x y z P P`P`P`P` Элементарные геометрические преобразования.

2. масштабирование 2. масштабирование где α, β, γ - коэффициенты масштабирования: где α, β, γ - коэффициенты масштабирования: α>1 α>1 β>1 β>1 γ>1 γ>1 x y z Матрица масштабирования: где α, β, γ - коэффициенты масштабирования: где α, β, γ - коэффициенты масштабирования: α>1 α>1 β>1 β>1 γ>1 γ>1 0

3. Отражение Матрица отражения относительно плоскости УZ: y x z x1-x1-x2x2 относительно плоскости ХУ: Относительно плоскости XZ

4. Вращение куба вокруг осей Х,У,Z. 4. Вращение куба вокруг осей Х,У,Z. Матрицы поворота:

Поворот. Поворот. x y z 1 1

Ось X: от Y к Z Ось Y:от Z к X Ось Z:от X к Y Положительные направления поворота: Положительные направления поворота: x y z zx yz xy

Получение матриц поворота путем циклических перестановок. Получение матриц поворота путем циклических перестановок. из матрицы R z получаем матрицу R x x y z x y z x x c s 0 y c s 0 y -s c 0 z -s c 0 z R x = c s 0 0 c s 0 0 -s c 0 0 -s c Аналогично матрица R x преобразуется в преобразуется в матрицу R y : матрицу R y : c=cos θ s=sin θ

Положение точки в разных системах координат. Точка Р имеет координаты: 1.(6,9)2.(4,7)3.(10,12)4.(3,3) Р

Композиция трехмерных преобразований.

Положение вектора в трехмерном пространстве ρ, φ, θ-сферические координаты вектора V. Vx,Vy,Vz-декартовы координаты вектора V Vx,Vy,Vz-декартовы координаты вектора V x y z VyVyVyVy VxVxVxVx VzVzVzVz V ρ φ θ 90° 90° 90°

1. поворот системы координат, так чтобы вектор V совпал с направлением оси Z a) Поворот вокруг оси z на угол b) Поворот вокруг оси y на угол Результирующая матрица: Поворот куба вокруг вектора, проходящего через начало координат

2. Поворот куба вокруг вектора V Поворот вокруг вектора V Поворот вокруг вектора V на угол После трех операций получили После трех операций получили результирующую матрицу: результирующую матрицу: Результирующая матрица:

3. Переход к исходной системе. Обратные повороты осей координат: а)ОY на угол б)ОZ на угол Результирующая матрица После трех операций получили результирующую матрицу: результирующую матрицу:

1. Перенос начала координат в точку А(a1,a2,a3). обратная матрица переноса: обратная матрица переноса: Поворот куба вокруг произвольного вектора.

2. Поворот куба относительно вектора V. Матрица поворота: Результирующая матрица:

3. Возврат системы координат в исходное состояние. Матрица переноса : Результирующая матрица: