Одночастичный базис. Многочастичный базис. Операторы физических величин 1.7. Вторичное квантование

Одночастичный базис Вакуумная волновая функция, обозначающая состояние, не содержащее ни одной частицы: В качестве одночастичных состояний можно выбрать, например, плоские волны, образующие полный набор: В формализме чисел заполнения такие состояния будут представлены следующим образом: Оператор рождения по определению рождает частицу в одночастичном состоянии, описываемом плоской волной с волновым вектором k Ортонормированность одночастичного базиса: 2

Многочастичный базис Двухчастичное состояние: То же самое физическое состояние: Возможны только два вида коммутационных соотношений: Возможна либо коммутация, либо анти коммутация операторов рождения. Частицы, операторы которых коммутируют, называются бозонами, частицы с антикоммутационными соотношениями – фермионами. Все элементарные частицы разделены на эти два основных класса 3

Многочастичный базис Принцип Паули – в одном и том же квантовом состоянии не могут находиться два фермиона: Связь между коммутацией операторов рождения и перестановкой частиц. Рассмотрим движение двух частиц в системе их центра масс. Соотношения коммутации: Пусть центр масс движется равномерно и описывается плоской волной; тогда волновая функция двух частиц представима в виде: С учетом уравнений коммутации: Волновая функция бозонов должна быть симметричной относительно перестановки частиц, а фермионная – антисимметричной 4

Многочастичный базис Правила коммутации: Свойство, справедливое для бозонов: Рассмотрим систему из трех частиц с ферми-статистикой на шести узлах. Узельный базис в числах заполнения будет состоять из 20 функций: 5

Многочастичный базис Узельные многочастичные функции являются ортонормированными, при этом понимается, что скалярное произведение двух функций равно нулю, если состояние хотя бы одного узла в одной функции отличается от аналогичного состояния другой функции Правила действия операторов физических величин на базисные волновые функции с учетом принципа тождественности: Кроме указанных правил действия на волновые функции операторов рождения и уничтожения, необходимо также учесть анти симметрию волновых функций системы из ферми-частиц Антикоммутационные соотношения: 6

Операторы физических величин Оператор числа частиц: Размерность базиса для системы из N a узлов, N частиц со спином вверх и N частиц со спином вниз: Операторы, действующие на одночастичные состояния: Оператор импульса: Оператор импульса диагоналей в базисе плоских волн 7

Операторы физических величин Оператор кинетической энергии: Оператор числа частиц: Частица во внешнем статическом кулоновском поле: Если центр поля в начале координат: 8

Операторы физических величин Двухчастичные операторы: Межчастичное кулоновское взаимодействие: Окончательно: 9

Операторы физических величин Межчастичное кулоновское взаимодействие: Раскладывая взаимодействие в ряд Фурье аналогично одночастичному случаю, имеем: Окончательно находим: 10