Угол Общая вершина называется вершиной угла. Сами лучи называются сторонами угла. Углом называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной. Угол обозначается или одной буквой, указывающей его вершину, или тремя буквами, средняя из которых указывает вершину угла, а крайние – какие-нибудь точки на сторонах угла. Например, A, AOB и т.д.

Равенство углов Одной из основных операций, которую можно производить с углами, является операция откладывания данного угла в ту или другую сторону от данного луча. Получающийся при этом угол называется равным исходному углу. Равенство углов АОВ и А 1 О 1 В 1 записывается в виде АОВ = А 1 О 1 В 1. Оно означает, что если один из этих углов, например АОВ, отложить от луча О 1 А 1 в сторону, определяемую лучом О 1 В 1, то угол АОВ при этом совместится с углом А 1 О 1 В 1. Если при откладывании угла АОВ от луча О 1 А 1 луч ОВ переходит в луч O 1 B', лежащий внутри угла А 1 О 1 В 1, то говорят, что угол АОВ меньше угла А 1 О 1 В 1 и обозначают АOВ < А 1 O 1 В 1.

Упражнение 1 Среди углов, изображенных на рисунке, укажите равные углы. Ответ: а), д), и); б), г) з); в), е), ж).

Упражнение 2 Какой из углов, изображенных на рисунке, больше? Ответ: а) PQR; б) углы ABC и PQR равны.

Упражнение 3 Расположите номера в порядке возрастания соответствующих углов. Ответ: 3, 2, 5, 6, 1, 4.

Упражнение 4 От луча PQ отложите угол QPR, равный углу AOB. Ответ:

Упражнение 5 От луча PQ отложите угол QPR, равный углу AOB. Ответ:

Развернутые, смежные и вертикальные углы Угол называется развернутым, если его стороны вместе составляют одну прямую. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие вместе составляют одну прямую. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла дополняют до прямых стороны другого угла.

Прямые, острые и тупые углы Угол называется прямым, если он равен своему смежному углу. Угол называется острым, если он меньше прямого угла. Угол называется тупым, если он больше прямого, но меньше развернутого угла.

Упражнение 6 Сколько острых углов, образовано лучами, изображенными на рисунке? Ответ: 3.

Упражнение 7 Назовите углы, меньшие развернутого, изображенные на рисунке. Сколько их? Ответ: AOB, AOC, AOD, BOC, BOD, COD; 6 углов.

Упражнение 8 Назовите пары: а) вертикальных; б) смежных углов, изображенных на рисунке. Ответ: а) AOB и DOE, BOC и EOF, COD и FOA, AOC и DOF, BOD и EOA; б) AOB и BOD, BOC и COE, COD и DOF, DOE и EOA, EOF и FOB, FOA и AOC.

Упражнение 9 Сколько имеется углов, смежных данному углу? Ответ: Два.

Упражнение 10 Ответ: а) Нет. Могут ли два смежных угла быть одновременно: а) острыми; б) прямыми; в) тупыми? б) да.в) нет.

Упражнение 11 Назовите: а) острые; б) прямые; в) тупые углы, изображенных на рисунке. Ответ: а) AOB, AOC, BOC, BOD, COD, COE, COF, DOE, DOF, EOF; б) AOD, BOE;в) AOE, AOF, BOF.

Измерение углов За единицу измерения углов обычно принимается угол, составляющий одну сто восьмидесятую часть развернутого угла. Считают, что величина этого угла равна одному градусу, обозначают 1 о. Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле. Для измерения величин углов применяют различные инструменты, простейшим из которых является известный вам транспортир.

Астролябия Одним из первых угломерных инструментов была астролябия, изобретенная Гиппархом ( гг. до н. э.) и усовершенствованная немецким ученым Региомонтаном ( ). Она состояла из тяжелого медного диска - лимба, который подвешивался за кольцо так, чтобы он висел вертикально и линия Г 1 Г 2 принимала горизонтальное положение. По краю лимба наносилась шкала, разделенная на градусы. Кроме этого, на лимбе имелась полоса А 1 А 2, называемая алидадой, которая могла вращаться вокруг центра лимба и имела на концах поперечные пластинки с отверстиями, называемыми диоптрами.

Квадрант Другим инструментом для измерения углов был квадрант, представляющий собой одну четвертую часть астролябии. Квадрант имел то преимущество перед астролябией, что его можно было сделать значительно больших размеров и тем самым увеличить точность измерения углов.

Теодолит Наиболее совершенным угловым инструментом, применяющимся в настоящее время для выполнения геодезических работ, является теодолит, состоящий из двух лимбов, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях, что позволяет измерять вертикальные и горизонтальные углы одновременно. На вертикальном лимбе имеется зрительная труба, с помощью которой алидады вертикального и горизонтального лимбов наводятся на объект наблюдения. Точность измерения углов при этом составляет доли минуты.

Упражнение 12 На рисунке найдите величины углов: а) AOB; б) AOC; в) AOD; г) BOC; д) BOD; е) COD. Ответ: а) 60 о ;б) 90 о ;в) 130 о ;г) 30 о ;д) 70 о ;е) 40 о.

Упражнение 13 Найдите величину угла AOB, изображенного на рисунке: а) б) Ответ: а) 120 о ;б) 100 о.

Упражнение 14 Изобразите углы, равные данным на рисунке. С помощью транспортира найдите их приближенную градусную величину. Ответ: а) ~26 о ;б) ~64 о ;в) 135 о.

Упражнение 15 Изобразите углы, равные данным на рисунке. С помощью транспортира найдите их приближенную градусную величину. Ответ: а) 45 о ;б) 90 о ;в) ~117 о.

Упражнение 16 Угол AOB равен 38 о. Чему равен смежный с ним угол? Ответ: 142 о.

Упражнение 17 Угол AOB равен 120 о. Чему равен смежный с ним угол? Ответ: 60 о.

Упражнение 18 Угол AOB равен 60 о. Чему равен вертикальный с ним угол? Ответ: 60 о.

Упражнение 19 Один из смежных углов на 40 о меньше другого. Найдите эти углы. Ответ: 70 о и 110 о.

Упражнение 20 Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. Ответ: 120 о, 60 o.

Упражнение 21 Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30 о. Чему равны остальные углы? Ответ: 30 о, 150 o, 150 o.

Упражнение 22 Сумма градусных величин трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 306 о. Найдите градусную величину большего из них. Ответ: 126 o.

Упражнение 23 Сумма градусных величин трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 300 о. Найдите градусную величину меньшего из них. Ответ: 60 o.

Упражнение 24 Найдите меньший из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, если сумма градусных величин двух из этих углов равна 280 о. Ответ: 40 o.

Упражнение 25 Найдите больший из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, если разность градусных величин двух из этих углов равна 100 о. Ответ: 140 o.

Упражнение 26 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 60 о. Найдите величину угла АОС, если она на 30 о больше величины угла ВОС. Ответ: 45 о.

Упражнение 27 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 45 о. Найдите величину угла АОС, если она в два раза больше величины угла ВОС. Ответ: 30 о.

Упражнение 28 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120 о. Найдите величину угла АОС, если она на 30 о меньше величины угла ВОС. Ответ: 45 о.

Упражнение 29 Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 120 о. Найдите величину угла ВОС, если она в три раза больше величины угла AОС. Ответ: 90 о.

Упражнение 30 Колесо имеет восемь спиц. Чему равен угол между соседними спицами? Ответ: 45 о.

Упражнение 31 Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 20 о.

Упражнение 32 Колесо имеет 12 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 30 о.

Упражнение 33 Колесо имеет 20 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 18 о.

Упражнение 34 Сколько спиц в колесе, если углы между соседними спицами равны 18 о ? Ответ: 20.

Упражнение 35 Сколько зубцов имеет колесо зубчатой передачи, если центральный угол между двумя соседними зубцами этого колеса, равен 12 о ? Ответ: 30.

Упражнение 36 Зубчатое колесо имеет 20 зубцов. Найдите центральный угол между двумя соседними зубцами этого колеса. Ответ: 18 о.

Упражнение 37 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 10 мин? Ответ: 60 о.

Упражнение 38 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 5 мин? Ответ: 30 о.

Упражнение 39 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 20 мин? Ответ: 120 о.

Упражнение 40 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 25 мин? Ответ: 150 о.

Упражнение 41 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 45 мин? Ответ: 270 о.

Упражнение 42 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 40 мин? Ответ: 240 о.

Упражнение 43 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 50 мин? Ответ: 300 о.

Упражнение 44 На сколько градусов повернется секундная стрелка за 5 мин? Ответ: 1800 о.

Упражнение 45 На сколько градусов повернется часовая стрелка за 20 мин? Ответ: 10 о.

Упражнение 46 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 20 сек? Ответ: 1 о.

Упражнение 47 Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 1 ч 30 мин? Ответ: 135 о.

Упражнение 48 Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 2 ч 20 мин? Ответ: 50 о.

Упражнение 49 Маленькое зубчатое колесо повернулось по часовой стрелке на 360 о. На сколько градусов и в какую сторону повернется сцепленное с ним большое зубчатое колесо? Ответ: 180 о против часовой стрелки.

Упражнение 50 Правое зубчатое колесо повернулось по часовой стрелке на 360 о. На сколько градусов и в какую сторону повернется сцепленное с ним левое зубчатое колесо? Ответ: 540 о по часовой стрелке.

Упражнение 51 На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 8 часов? Ответ: 120 о.

Упражнение 52 За сколько часов Земля повернется вокруг своей оси на 90 о ? Ответ: 6.