ПРОСТОЕ ЧИСЛО Изучение математики начиналось с натуральных чисел, то есть «природных», естественных, обыкновенных. Это числа 1, 2, 3, 4,… Но есть еще и другие числа. Натуральные числа отличные от единицы, подразделяют на простые и составные. Простым называется такое натуральное число, делителями которого являются только оно само и единица. Остальные числа называются составными. Примеры простых чисел: 2, 5, 37, Числа же 4, 6, 162, 2553 составные. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным. Простых чисел, так же как и составных, бесконечно много. Евклид определял простые числа так: « Простое число есть измеряемое только единицей, составное число есть измеряемое некоторым числом ». Каждое натуральное составное число можно разложить на простые множители. Например: 4= 2 2, 6 = 2 3,162= , 2553 = Простые числа представляют собой как бы элементарные кирпичики, из которых строятся остальные числа. «Основная теорема арифметики» утверждает, что любые два разложения данного натурального числа на простые множители одинаковы, если не обращать внимание на порядок следования сомножителей.

Для того чтобы доказать, что данное натуральное число N простое, достаточно установить, что оно не делится ни на одно из чисел от 2 до N. Если же N делится на одно из таких чисел, то N составное. Более удобный способ « отсеивания » составных чисел основан на следующем наблюдении. Если выписать подряд последовательные натуральные числа, то, зачёркивая каждое второе число из следующих за числом 2, мы отсеем все числа, кратные числу 2; зачёркивая каждое третье число из следующих за числом 3, мы отсеем все числа, кратные 3, и, вообще какое бы натуральное число k мы не взяли, зачёркивая каждое k-е число из стоящих за k, мы отсеем все числа, кратные k. Поэтому если нам нужно отыскать все простые числа, не превосходящие данного числа N, то выпишем подряд все числа от 2 до N. Отметим число 2 как первое простое. Затем по способу «отсеивания » отбросим все числа, кратные 2; первое, не вычеркнутое число – это следующее простое число 3; Отбросим все числа кратные 3; первое не вычеркнутое число – это следующее простое число 5 и т.д. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не доберёмся до простого числа, которое больше N. Все оставшиеся не вычеркнутыми числа будут простыми.

В разные времена математики искали формулу, которая при различных значениях, входящих в неё переменных, давала бы простые числа. Так, Л.Эйлер указал многочлен n²- n+41,значения которого при =0, 1, 2,…,40 – простые числа. Издавна математиков интересовал вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду. В 1837 г. немецкому математику Л.Дирихле удалось доказать, что в любой арифметической прогрессии, первый член и разность которой взаимно просты, есть бесконечно много простых чисел. В доказательстве Дирихле были использованы новые для теории чисел методы (функции комплексного переменного, ряды), открывшие совершено новые пути для ее развития. О простых числах более сложного вида известно мало. Так, до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число простых чисел вида n² + 1 или же простых чисел вида (эти последние называются простыми числами Мерсенна). Наибольшее из известных простых чисел является простым числом Мерсенна.

Важными характеристиками расположения простых чисел в натуральном ряду служат величины: π (n)- число простых чисел, не превосходящих р, и отношение π(n) / n- средняя плотность простых чисел среди первых n натуральных. Изучение таблиц простых чисел показало, что, двигаясь по натуральному ряду, мы будем встречать простые числа все реже. Эйлер обосновал это наблюдение, доказав, что π(n) lim n n Простые числа в среднем располагаются реже, чем члены, какой угодно арифметической прогрессии. Но простые числа располагаются все же гуще квадратов натуральных чисел. Совершенное число. Так называют натуральное число, равное сумме своих делителей, разумеется, исключая делитель, равный самому числу. Обозначают символом Vn, где n- порядковый номер совершенного числа. Самое меньшее V первое=6(= ). Лев Николаевич Толстой не раз, бывало, шутливо «похвалялся» тем, что дата его рождения (28 авг. по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Льва Толстого (1828) тоже интересное число: 1)последние две цифры (28) образуют совершенное число; 2)если обменять местами две первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

«Возраст» этих совершенных чисел солидный не менее 2 тыс. лет. Пятое совершенное число это выявилось в 1460 г., а в 1644 г. француз Мерсенн нашел сразу четыре последующих совершенных числа. Нечетных совершенных чисел, по-видимому, не существует, но до сих пор это никем не доказано и не опровергнуто. Простые числа Мерсенна. Среди простых чисел большую роль играют простые числа Мерсенна – числа вида Мр=2 - 1, где р – простое число. Они называются простыми числами Мерена Мерсенна ( ), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М 2 =3,М 3 =7, М 5 8, М 7 = 127, то это – простые числа Мерсенна.

Однако, число М одиннадцатое равно 2047 равно 23x89 простым не является. До 1750 г. было найдено всего восемь простых чисел Мерсенна: М 2, М 3, М 5, М 7, М 13, М 17,М 19 М 31. То, что М 31 - простое число, доказал в 1750 г. Л. Эйлер. В 1876 г. французский математик Эдуард Люка установил, это число М 127 = – простое. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии И. М. Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М 61 = является простым. Позднее было установлено, что числа М 89 и М 107 – простые. Использование ЭВМ позволило в годах доказать, что числа, М 521, М 607,М 1279, М 2203, М 2281, М 3217, М 4253, М 4423, М 2689, М 9941, М простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М имеет цифр. До сих пор остается загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р 17, Р 19, Р 31 являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р 17, Р 19 нашел итальянский математик Катальни – профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное проведение предсказало своим избранникам правильные значения этих чисел