Работу выполнили: Куликов Виктор, Пахомова Лидия, Перескокова Надежда, ученики 10 класса МБОУ «СОШ с. Александровка 3-я Калининского района Саратовской области» Учитель: Егорова Надежда Васильевна 2014 г

1. Определение простых чисел.Определение простых чисел. 2. Заслуги Эйлера.Заслуги Эйлера. 3. Основная теорема арифметики.Основная теорема арифметики. 4. Простые числа Мерсена.Простые числа Мерсена. 5. Простые числа Ферма.Простые числа Ферма. 6. Решето Эратосфена.Решето Эратосфена. 7. Открытие П.Л. Чебышева.Открытие П.Л. Чебышева. 8. Проблема Гольдбаха.Проблема Гольдбаха. 9. Заключение. Из класса – в мировое пространство.

Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу. Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составными числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица – матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония. В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил « Как не может быть число без единицы, так и Вселенная без единого Владыки существовать не может». Единица и в самом деле – число уникальное по свойствам : она делится только сама на себя, но любое другое число на неё делится без остатка, любая её степень равна тому же самому числу – единице! После деления на неё ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил : «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным». Это было уже существенно важное упорядочивание в темном и сложном вопросе о простых числах.

Леонард Эйлер ( ). Он изучал: Дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра,механика. диоптрика, артиллерия,морская наука, теория движения планет и Луны, теория музыки – всего не перечислить. Во всей этой научной мозаике находится и теория чисел. Эйлер отдал ей не мало сил и немалого добился. Он, как и многие предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т.е из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал более ста сочинений по теории чисел. Доказано, например, что число простых чисел не ограничено, т.е.: 1) Нет самого большого простого числа ; 2) Нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными. Первое доказательство этого положения принадлежит ученым древней Греции (V- III вв. до н. э), второе доказательство – Эйлеру (1708 – 1783) ЭЙЛЕР

Теорема: Всякое натуральное число, отличное от 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования множителей. Следствие: Если число n не делится ни на одно простое, не превосходящее, то оно является простым.

Меренна Мерсена ( 1589 – 1648 ) французский монах, который долго занимался проблемой современных чисел. Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида: M P =2 P -1, Где p – другое простое число. Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о современных числах. Если вычислять числа по этой формуле, то получим: M 2 =2 2 -1=3 –простое M 3 =2 3 -1=7 –простое M 5 =2 5 -1=31 –простое M 7 =2 7 -1=127 –простое M 11 = =2047 –простое

Эти числа быстро увеличиваются. В 1750 году Эйлер установил по этой формуле, что число M 31 является простым. Появление вычислительных машин позволило продолжить поиски простых чисел, доведя их до p=257. Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсена. Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США).

Пьер Ферма ( ) французский юрист, который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми простыми числами ферма были числа, которые удовлетворяли формуле Однако, это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал ещё один шаг и показал, что следующее число Ферма F5 =641· является составным. Возможно, что история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче – на построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки. Однако ни одного простого числа Ферма не было найдено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.

Эратосфен (около 200 г. до н.э.) математик из Александрии. Эратосфен создал таблицу простых чисел от 1 до 120 более 2000 лет назад. Он писал на папирусе, натянутом на рамку, или на восковой дощечке, и не зачеркивал, как это делаем мы, а прокалывал составные числа. Получалось нечто вроде решета, через которое «просеивались» составные числа. Поэтому таблицу простых чисел называют «решетом Эратосфена».

Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги: Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n). Пусть переменная p изначально равна двум первому простому числу. Зачеркнуть в списке числа от 2p до n считая шагами по p (это будут числа кратные p: 2p, 3p, 4p, …). Найти первое незачёркнутое число в списке, большее чем p, и присвоить значению переменной p это число. Повторять шаги 3 и 4, пока возможно.

Пафнутий Львович Чебышев ( ) Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распределении или нет? Если есть, то какой? Как найти его? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет. Первый и очень большой шаг в разрешении этих вопросов сделал великий русский ученый Пафнутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза больше его (т.е между n и 2n), находится хоть одно простое число. За эту теорему его назвали победителем простых чисел. Открытый Чебышевым закон распределения простых чисел был поистине фундаментальным законом в теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечности количества простых чисел.

В 1742 г. член Петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел. Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформулирована следующим образом. Требуется доказать или опровергнуть предложение : всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха – Эйлера, но безуспешно. Многие пришли к выводу о невозможности ее решить. Но решение ее, и почти полностью, было найдено в 1937 году советским математиком И.М.Виноградовым.

Известный советский педагог-математик профессор Иван Козьмич Андронов придумал воображаемое путешествие из класса в мировое пространство. «…а)мысленно возьмем прямолинейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее – за огненный шар Солнца, и далее – в мировую бесконечность; б)мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближайшей: 1, 2,3,4,…,100,…,1000,…, …; в)мысленно включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами; г)мысленно полетим вблизи провода. Перед нами развернется следующая картина.

1. Лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому что 1 не есть простое число. 2. Две следующие лампочки 2 и 3 горят, так как 2 и 3 – оба простые числа. Далее не встретятся две смежные горящие лампочки, так как всякое простое число, кроме двух, есть число нечетное, а всякое четное –составное, так как делится на два. 3. Дальше наблюдаем пару лампочек, горящих через одну с номерами 3 и 5, 5 и 7 и т.д. Это близнецы. Все пары близнецов имеют вид 6n +1; Например 6·3 + 1 равно 19 и 17.

Долетаем до пары близнецов и Будут ли и дальше пары близнецов? Современная наука пока ответа не дает. 4. Но вот начинает действовать закон большого промежутка, заполненного только составными номерами: летим в темноте. Вспоминаем свойство, открытое Евклидом, и смело движемся вперед, так как впереди должны быть светящиеся лампочки. 5. Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в темноте, вспоминаем свойство, доказанное Чебышевым, и успокаиваемся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку».

1. Математика /газета, издательский дом «Первое сентября», 13, 2002 г. 2. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры»/книга для учащихся 7-9 классов средней школы, Москва «Просвещение», 1990 г. 3.