Дифференциальные и разностные уравнения O Доцент O Смирнова Елена Евгеньевна O НОО ВПО НП «ТИЭИ» Видеолекция (II часть)

Контакты преподавателя O Смирнова Елена Евгеньевна O Тел O O

Размещение курса в Moodle O Сайт O Раздел «Обучение через Интернет» O Кафедра Естественнонаучных и гуманитарных дисциплин O Дисциплина «Дифференциальные и разностные уравнения»

Список литературы Базовый учебник: O 1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.. – 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, Дополнительная: O 1. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу «Дифференциальные и разностные уравнения». – М:ВШЭ,1998. O 2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ, 2000.

Основная цель дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» – изучение математического аппарата, необходимого при изучении курсов экономического профиля. В дисциплине «Дифференциальные и разностные уравнения» рассматриваются избранные разделы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и конечноразностных (рекуррентных) уравнений, моделирующих динамику самых разнообразных систем: от механических до социальных, объясняя закономерности механических, физических, биологических и экономических систем. Данная дисциплина направлена на развитие навыков формализации и организации понятий при создании и изучении математических моделей общих и конкретных социально- экономических явлений, при постановке и решении соответствующих математических задач.

В результате изучения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» студент должен : знать основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, основные теоремы существования и единственности, методы построения простейших моделей различных процессов, методы решения основных типов уравнений. уметь грамотно применить изученные методы при решении прикладных задач экономического содержания. иметь представление об основных понятиях теории устойчивости и методах исследования. обладать навыками исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений и конечно- разностных уравнений.

Тематические разделы курса Раздел 1. Начальные сведения о дифференциальных уравнениях Тема 1. Основные понятия Тема 2. Вопросы существования и единственности решения дифференциальных уравнений Тема 3. Численные методы решений Тема 4. Дифференциальные уравнения в экономике Раздел 2. Классы дифференциальных уравнений Тема 5. Дифференциальные уравнения первого порядка Тема 6. Дифференциальные уравнения n-го порядка Тема 7. Системы дифференциальных уравнений

Тематические разделы курса (продолжение) Раздел 3. Устойчивость дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений Тема 8. Устойчивость дифференциальных уравнений Тема 9. Устойчивость систем дифференциальных уравнений Раздел 4. Разностные уравнения Тема 10. Примеры разностных уравнений Тема 11. Методы решения разностных уравнений

Раздел 4. Разностные уравнения 4 Тема 10. Примеры разностных уравнений Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Последовательность частных сумм числового ряда. Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами. Величина долга по займу с регулярными выплатами. Числа Фибоначчи. Паутинообразная модель рынка. Модель делового цикла (Самуэльсона - Хикса). Тема 11. Методы решения разностных уравнений Построение фундаментальной системы решений уравнения по корням характеристического уравнения. Построение частного решения уравнения. Принцип суперпозиции. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нелинейного уравнения x(t + 1) = V(x(t)). Методы решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, …, n – 1, n, …. Если заменить каждое число n в этом ряду некоторым числом u n, следуя некоторому закону, мы получим новый ряд чисел: u 1, u 2, u 3, …, u n - 1, u n, …, называемый числовой последовательностью. Число u n называется общим членом числовой последовательности. П р и м е р ы числовых последовательностей: 2, 4, 6, 8, 10, …, 2 n, … ; 1, 4, 9, 16, 25, …, n ², … ; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/ n, … Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Примеры разностных уравнений Тема 10

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: a n = a 1 + d ( n – 1 ). b n = b 1 q n - 1. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия (продолжение).

Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами. Процентная ставка вклада [1] это сумма, указываемая в процентах к сумме вклада, которую банк заплатит за пользование им в течении определенного периода. Процентная ставка банковского вклада - является важнейшим его условием и зафиксирована в депозитном договоре. [1]банковского вклада депозитном договоре Начисление процентов Начисление процентов по вкладу как правило происходит со дня, следующего за днем поступления к банку денежных средств, до дня выдачи денежных средств, если в договоре не прописано другое. Примечания 1. англ. - Deposit Interest Rate

Наиболее распространены следующие схемы начисления процентов по банковским вкладам: В конце срока - выплата процентов происходит в конце срока вклада. С капитализацией - в соответствии с договором происходят промежуточные выплаты процентов с прибавлением их к сумме вклада. Такими процентами нельзя воспользоваться до конца срока вклада, однако общий доход по вкладу с капитализацией будет выше. (За счет начисления сложного процента)сложного процента Регулярные выплаты - проценты выплачиваются регулярно на другой счет или карту. В данном случае процентами можно сразу воспользоваться. Регулярность выплат определяется условиями депозитного договора и может варьироваться в широком диапазоне от недель до года или более.депозитного договора Как правило вклады с высокими процентами ставками не имеют возможности капитализации процентов. И полученный доход от такого вклада может оказаться меньше чем доход с меньшей ставкой, но с капитализацией процентов. Поэтому предварительно рекомендуется самостоятельно рассчитать начисленные проценты.вклады с высокими процентами ставками рассчитать начисленные проценты Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами (продолжение).

Формула простых процентов применяется когда проценты к телу вклада не прибавляются.вклада S = P + Pin = P(1 + in) гдеP начальная сумма вкладаS приращенная сумма (начальная сумма + проценты) i процентная ставка вклада за период, выраженная в долях процентная ставка вклада n число периодов начисления Примеры расчета Представим, что вкладчик разместил 80 тыс. рублей на срочном вкладе, под 7% годовых на 2 месяца.вкладчик S = 80000*(1+ 0,07*2/12*1) = 80933,33 р. Срочный вклад Срочный вклад 100 тыс. рублей, под 11% годовых на 1,5 года. С ежеквартальной выплатой процентов на карточку. (к телу вклада не присоединяются). S = *(1 + 0,11*1*1,5) = р. (т.к. при ежеквартальной выплате проценты не прибавляются к сумме вклада, то на конечный финансовый итог они не влияют). вкладчик разместил рублей на срочном вкладе, под 9% годовых на 1 год. Вклад пополняемый, и на 91 день произведено пополнение вклада в сумме рублей. пополняемый В этом случае потребуется отдельно рассчитать проценты, как-бы по 2-ум вкладам. Один на р и 12 месяцев, другой на рублей и 9 месяцев. S1 = 80000*(1+ 0,09*12/12*1) = р. S2 = 20000*(1+ 0,09*9/12*1) = р. S = S1 + S2 = = р.

Формула сложных процентов применяется в случаях прибавления начисленных процентов к сумме вкладаначисленных процентов S = (1 + i) n P Обозначения те же что и в формуле выше. Для случаев когда проценты начисляются m раз в году формула сложных процентов принимает вид: где m кол-во начислений процентов в году, а k кол-во лет на которые размещен вклад. Пример расчета Вернемся к примеру, когда банк принял срочный вклад в 100 тыс. рублей, под 11% годовых на 1,5 года. С ежеквартальной выплатой процентов. Но на этот раз проценты прибавляются к вкладу. Т.е. вклад с капитализацией. S = (1 + 0,11/4) 4*1,5 * = ,83 рублей Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами (продолжение).

Числа Фибоначчи. Числа Фибоначчи элементы числовой последовательности Фибоначчичисловой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,… в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.Фибоначчи Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением: линейным рекуррентным соотношением F n = F n + 2 F n + 1

ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ - модель, изображающая траекторию движения к состоянию равновесия, когда реакция предложения или спроса запаздывает. Паутинообразная модель описывает динамический процесс: траекторию корректировки цен и объема производства при движении от одного состояния равновесия к другому; используется для описания колебаний цен на рынках сельскохозяйственной продукции, на биржевом рынке, где предложение реагирует на изменения цен с некоторым запозданием. Рассмотрим вариант динамической модели рынка одного продукта. Предположим, что объем спроса зависит от уровня цен текущего периода, а объем предложения - от уровня цен предшествующего периода: Q i D =Q i D (P t ), Q i D = Q i S (P t-1 ) где t - определенный период (t = 0,1,2,..., Т). Это значит, что производители в период t - 1 определяют объем производства, предполагая, что цены периода t - 1 сохраняются и в период t (P t-1 = P t ). В таком случае график спроса и предложения будет иметь вид паутинообразной модели. Паутинообразная модель рынка.

Возможны три варианта изменения рыночной цены во времени. Если наклон линии предложения более крутой, чем наклон линии спроса, то со временем отклонение от равновесия уменьшается, равновесие восстанавливается (рис. 1). Если наклон линии предложения более пологий, чем наклон линии спроса, отклонение от равновесия увеличивается (рис. 2). При одинаковом наклоне линий предложения и спроса рынок колеблется вокруг точки равновесия (рис. 3). Этот вариант рассмотрим несколько подробнее. рис. 1 Допустим, что начальная цена Ро. На эту цену ориентируются производители в период t = 1, предлагая продукцию в объёме Q1, что ниже равновесного уровня QE. Тогда возникает дефицит, в результате чего цены повышаются до P1. В ответ на это производители увеличат объем предложения до Q2, надеясь, что уровень цен сохранится и в период t = 2. Избыток предложения приведет к понижению цены до Ро и т. д. Паутинообразная модель рынка (продолжение).

Все три варианта допускают неизменность функций спроса и предложения во времени. рис. 2 рис. 3 Следовательно, несмотря на то что линии спроса и предложения имеют нормальный наклон, запаздывание в реакции предложения на изменение цен может привести к нестабильности равновесного состояния. Из этого вытекает, что анализ стабильности не ограничивается только методом сравнительной статики. Паутинообразная модель рынка (продолжение).

Модель делового цикла (Самуэльсона -Хикса).

Пример 1: Решение: Замечание. В зависимости от значений a и V возможны 4 типа динамики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательный характер с возрастающей амплитудой.

Пример 2: Решение:

Динамическая модель Кейнса. Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), F(t), S(t), I(t) – соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются, как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения где a(t) –коэффициент склонности к потреблению (0< a(t)

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t), и E(t) заданы – они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t. Подставим выражение для S(t) из второго уравнения и I(t) из третьего уравнение в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t) : Т.к. существуют достаточно сложная и простая формы решения этого уравнения, поэтому мы проанализируем более простой случай, полагая основные параметры a,b,k постоянными числами. Тогда уравнение (1) упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами: Динамическая модель Кейнса (продолжение).

Модель рынка с запаздыванием сбыта. В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. Да и в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута S сдвинута по времени относительно цены P, т.е. будем полагать, что S(t)=S(P(t-1)), в то время как функция спроса D одномоментно отвечает цене: D(t)=D(P(t)). Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены: Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного товара : D(t)=S(t), откуда с учетом (1) имеем: Поделим обе части этого равенства на b и перейдем, для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнения первого порядка относительно цены P с постоянными коэффициентами:

Модель рынка с запаздыванием сбыта (продолжение).

Модель рынка с запасами. В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением S и спросом D. Примем следующие допущения. 1. Спрос D(t) и предложение S(t) представляют собой линейные функции от текущей цены P(t): 2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна отрицательной величине запаса с некоторым коэффициентом k (при наличии запаса цена на товар в последующий период падает):

Модель рынка с запасами (продолжение).

Уравнение снабжения (логистики).

Уравнение снабжения (логистики) (продолжение) Пример 3: известно, что рост количества бактерий в сосуде удовлетворяет уравнению логистики, с постоянным k=0.2. Пусть в начальный момент времени количество бактерий составляло 1% от максимально возможного значения m. За какое время количество бактерий достигнет 80% от максимума. Решение:

Продуктивная модель Леонтьева. Пусть приведены данные по балансу за некоторый период между 5-ю отраслями промышленности. Необходимо найти варианты конечного потребления валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить является ли она продуктивной.

Динамическая модель Леонтьева. Ранее была рассмотрена продуктивная модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период t, определяется не текущим выпуском, а выпуском в последний период t+1. Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перестройки, мобилизации внутренних ресурсов и изменением транспорта сырья и т.д. С учетом этого система уравнений баланса в предложении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будем иметь следующий вид Таким образом, при указанном темпе роста продуктивность конечного потребления необходимо через 2 временных цикла повысить компоненты валового выпуска соответственно на 12, 18, и 6% по сравнению с их величинами на начальный момент времени.

Методы решения разностных уравнений Тема 11 Методы решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 4: Найдите общее решение уравнения Решение:

1. Основные понятия и определения курса дифференциальных уравнений. Порядок уравнения, общее решение, задача Коши, краевая задача. Вопросы к зачету. 2. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной. 3. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним. 4. Однородные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним. 5. Линейные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним. Два способа их решения. 6. Уравнения Бернулли. 7. Теорема существования и единственности (Коши) решения начальной задачи. 8. Уравнения в полных дифференциалах. 9. Дифференциальные уравнения высших порядков. Приведение к системе уравнений. Теорема существования и единственности. 10. Простейшие нелинейные уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах. Уравнения, допускающие понижение порядка. 11. Общая теория линейных дифференциальных уравнений п -го порядка. Общие свойства, линейный дифференциальный оператор.

12. Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений п -го порядка. Вопросы к зачету (продолжение). 13. Неоднородные линейные уравнения п -го порядка. Метод вариации произвольной постоянной. 14. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью (резонансный случай). 15. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью (нерезонансный случай). 16. Общая теория линейных систем дифференциальных уравнений. 17. Метод Эйлера решения однородных линейных систем с постоянными коэффициентами. 18. Метод вариации решения неоднородных линейных систем. 19. Линейные разностные уравнения. Общие решения для однородного и неоднородного случаев. 20. Разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!