ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛЕКЦИЯ 1

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Частные производные функции нескольких переменных

Частные производные Для наглядности, здесь и далее все определения и утверждения будем формулировать для функции 2-х (или 3-х) переменных. На случай большего числа неизвестных они обобщаются естественным образом. Пусть z = f(x,y), D(z) = D xOy, Пусть M 0 (x 0,y 0 ) D. Придадим x 0 приращение x, оставляя значение y 0 не измененным (так, чтобы точка M(x 0 + x,y 0 ) D). При этом z = f(x,y) получит приращение x z(M 0 ) = f(M) – f(M 0 ) = f(x 0 + x,y 0 ) – f(x 0,y 0 ). x z(M 0 ) называется частным приращением функции z = f(x,y) по x в точке M 0 (x 0,y 0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при x 0 отношения (если он существует и конечен) называется частной производной функции z = f(x,y) по переменной x в точке M 0 (x 0,y 0 ). Обозначают: или

Замечания. 1) Обозначения и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения z(x 0,y 0 ) и x смысла не имеют. 2) характеризует скорость изменения функции z = f(x,y) по x в точке M 0 (x 0,y 0 ) (физический смысл частной производной по x). Аналогично определяется частная производная функции z = f(x,y) по переменной y в точке M 0 (x 0,y 0 ): Обозначают:

Соответствие (и ) является функцией, определенной на D 1 (D 2 ) D(f). Ее называют частной производной функции z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее частных производных называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно.

Фактически, – это обыкновенная производная функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной переменной x (соответственно y) при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных производится по тем же самым правилам, что и для функции одной переменой. При этом, одна из переменных считается константой.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ частных производных функции ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть функция z = f(x,y) имеет в M 0 (x 0,y 0 ) частную производную по x (y). Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y). Тогда где ( ) – угол наклона к оси Ox(Oy) касательной, проведен- ной в точке P 0 (x 0,y 0, f(x 0,y 0 )) к линии пересечения поверхности S и плоскости y = y 0 (x = x 0 ).