Ребята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число – е. Сегодня мы продолжим работать с этим числом. Мы с вами изучили логарифмы и знаем, что в основании логарифма может стоять множество чисел больших нуля. Сегодня мы так же рассмотрим логарифм, в основании которого стоит число е, такой логарифм принято называть натуральным логарифмом. Так же у него есть собственная запись: То есть, такая запись эквивалентна записи:

Показательные и логарифмические функции являются обратными, тогда натуральный логарифм, является обратной для функции: Обратные функции являются симметричными относительно прямой y=x, давайте построим график натурального логарифма, отразив экспоненциальную функцию относительно прямой y=x.

Стоит заметить угол наклона касательной к графику функции в точке (0;1) равен 45 градусам, тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) так же будет равен 45 градусам, и обе эти касательные будут параллельны прямой y=x. Давайте схематично изобразим касательные:

Свойства функции y=lnx: 1. D(f)=(0;+) 2. Не является ни четной, ни нечетной. 3. Возрастает на всей области определения. 4. Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет. 6. Непрерывна. 7. E(f)=(-; +). 8. Выпукла вверх. 9. Дифференцируема всюду.

В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции. Углубляться в доказательство не имеет большого смысла, давайте просто запишем формулу:

Пример. Вычислить значение производной функции в точке х=4. Решение. В общем виде наша функция представляют функцию y=f(kx+m), производные таких функций мы хорошо умеем вычислять. Вычислим значение производной в требуемой точке: Ответ: 2.

Пример. Провести касательную к графику функции y=lnx в точке х=е. Решение. Уравнение касательной к графику функции, в точке х=а, мы хорошо помним Последовательно вычислим требуемые значения Уравнение касательной в точке х=е представляет собой функцию График натурального логарифма и касательной показан правее.

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: Решение. Область определения функции D(y)=(0;+) Найдем производную заданной функции: Производная существует при всех х из области определения, тогда критических точек нет, найдем стационарные точки: Точка х=-1 не принадлежит области определения, тогда имеем одну стационарную точку х=1. Найдем промежутки возрастания и убывания: Точка х=1 – точка минимума, тогда Ответ: Функция убывает на отрезке (0;1], функция возрастает на луче [1;+).

Ребята, мы умеем вычислять производные натурального логарифма и экспоненциальной функции, но мы до сих пор не знаем как вычислять производную любого другого логарифма и любой показательной функции. Рассмотрим показательную функцию Вспомним свойство: Тогда: Найдем производную: Получили, производная показательной функции равна Например.

Перейдем к логарифмам, воспользуемся формулой перехода к новому основанию Найдем производную Производная логарифма по основанию а числа х равна: Например.

Задачи для самостоятельного решения. 1. Вычислить значение производной функции в точке х=3. 2. Вычислить значение производной функции в точке х= Найти уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке х=2 е. Схематично изобразить график. 4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: