Функция Раздел 4.

x y Функцией f называется соответствие, которое каждому числу х из множества D сопоставляет одно число y из множества Е. х – независимая переменная (аргумент) у – зависимая переменная D – область определения Е – область значений

Пример 1. Найти область определения функций

Способы задания функции: 1)табличный 2)аналитический (с помощью формул) 3)графический

Графиком функции f называется множество точек М (х, у) на координатной плоскости, таких что y = f(x), а х пробегает всю область определения. Координата х называется абсциссой, у – ординатой.

Пример 2. Является ли данная кривая графиком функции? х 1 х 1 у 1 у 1 х 1 х 1 у 1 у 1 у 2 у 2 х у у

Сложная функция Функция f называется сложной, если ее аргумент сам является функцией от некоторой переменной y = f(x) x = g(z) y = f(g(z)) y = f(z)

Свойства функций Тема 4.1

1. Ограниченность

Функция f называется ограниченной, если существует число С, больше которого значение функции быть не может.

2. Убывание / возрастание. Монотонность

2. Убывание / возрастание Функция f называется возрастающей, если при увеличении х увеличивается у: х 2 > x 1 => f(x 2 ) > f(x 1 ) Функция f называется убывающей, если при увеличении х уменьшается у: х 2 > x 1 => f(x 2 ) < f(x 1 )

2. Монотонность Функция f называется монотонной на некотором промежутке, если она возрастает или убывает на этом промежутке

3. Четность / нечетность

Функция f называется четной, если противоположным значениям х соответствуют одинаковые значения у: f(– x) = f(x) График четной функции симметричен относительно оси у. 3. Четность / нечетность

Функция f называется нечетной, если противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у: f(– x) = – f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 3. Четность / нечетность

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида. 3. Четность / нечетность

f(– x) = f(x) – четная f(– x) = – f(x) – нечетная – общего вида

4. Периодичность

Функция называется периодической с периодом Т, если f(x + T) = f(x) f(x + 2T) = f(x) f(x + 3T) = f(x) ……… f(x +n T) = f(x), n = 0, ± 1, ± 2, … 4. Периодичность

Основные функции Тема 4.2

1) 2)3)5)4)6) 7)8) 9) 10) 11)12)13)14)15)

1) 2)4)6) 8)10) 12)14)

1) 2) 4) 6) 8) 10) 12) 14) Линейная функция y = k x + b

Линейная функция y = k x + b Графиком является прямая. k – угловой коэффициент – это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси х. k > 0 => α – острый; k α – тупой; k = 0 => прямая параллельна оси х х у α b k = tgα b – начальная ордината – это ордината точки пересечения с осью у.

Построить графики функций и исследовать их по схеме: 1) D (x) 2) E (y) 3) возрастание / убывание 4) точки пересечения с осями 5) четность / нечетность

Обратная функция

х у y ( x ) х ( y ) = 2y - 2 y ( x ) = 0,5x+1 y = 2x - 2

Обратная функция Дано: функция y = f ( x ) : одному у одно х Выразим х через у : х = g ( y ) – обратная функция для f(x) (обозначается х = f - 1 ( у )) Заменим х на у, у на х : у = g ( х ) у = f ( x ) у = g ( х ) взаимно обратные функции Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов

х у y = 0,5x+1 или х = 2y - 2 y = 2x - 2 биссектриса: y = x

Дробно-линейная функция

Графиком являются две ветви гиперболы, симметричные относительно своих асимптот. Асимптота – линия, к которой стремится график функции, уходя в бесконечность. Асимптоты гиперболы:и Д/з: вывести

1.

Квадратичная функция

Графиком является парабола. a > 0 - ветви направлены вверх a < 0 - ветви направлены вниз a > 0 a < 0

Алгоритм построения графика 1. Координаты вершины: 2. Точки пересечения с осями: 1) с осью у: х=0 y=c (0;c) 2) c осью х: у=0 ax 2 +bx+c=0 D=b 2 – 4ac; (х 1 ;0), (х 2 ;0) 3. При необходимости – дополнительные точки ось симметрии х 1 х 1 х 2 х 2 (х В, у В ) с

Частные случаи 1) D = 0 – вершина находится на оси х 2) D < 0 – парабола не пересекает ось х. Для построения графика нужно взять дополнительные точки 3) а 0 b0 c=0 – проходит через начало координат 4) а 0 с 0 b=0 – вершина – на оси у в точке (0;с) 5) b0 c0 a=0 – график – прямая y=bx+c

Кубическая функция Графиком является кубическая парабола. 1) D(x) = ( – ; + ) 2) Е(у) = ( – ; + ) 3) возрастает 4) (0; 0) 5) нечетная х у -8018

1. Постройте графики функций 1) 2) 3*)

Преобразования графиков функций

Дано: График функции y = f (x) y = – f (x) Отразить f(x) относительно оси х y = f (x) + а Сместить f(x) по оси у на а : a > 0 – вверх; a < 0 – вниз y = f (x + а)Сместить f(x) по оси х на а : a > 0 – влево; a < 0 – вправо y = аּf (x) a > 1 – растянуть f(x) вдоль оси у в а раз; a < 1 – сжать в 1/а раз y = f (аּx)a > 1 – сжать f(x) вдоль оси х в а раз; a < 1 – растянуть в 1/а раз

1. Используя графики функций и постройте графики функций: 1) 2) 3) 3*) 2*) 1*)

1) 2) 4) Степенная функция y = x а (а – число)3)5)6)7) 8)

y = x а а целое дробное а > 0 а = 0 а < 0

y = x а I.а – целое 1. a = а – положительное 1) a = 1. 2) а = 2. 3)а = а – отрицательное y = x 0 ; y = 1– прямая y = x; – прямая 1 1 y = x 2 ;– парабола y = x 3 ; – кубическая парабола 1

y = x а 3. а – отрицательное 1) a = – 1. 2) а = – 2. y = x -1 ; – гипербола х у х у 1/41-1

Выводы: 1) Если а = 0 или а = 1, то график - прямая. 2) Если а – четное, то функция четная. 3) Если а – нечетное, то функция нечетная.

y = x а II.а – дробное х 014 у х у х 014 у 012 х у -2012

2.

Показательная функция y = а х (а – число) а > 0 a 1

1) D(x) = ( – ; + ) 2) Е(у) = ( 0 ; + ) 3) Возрастает 4) Ось у: (0; 1). Ось х не пересекает. 1. х у х у 1/81/41/21248

1) D(x) = ( – ; + ) 2) Е(у) = ( 0 ; + ) 3) Убывает 4) Ось у: (0; 1). Ось х не пересекает х у х у 84211/21/41/8

Выводы: 1)Если а > 1, то функция возрастает. Если а < 1, то функция убывает. 2) Все графики функций вида y = а х проходят через точку (0 ; 1). 3) Все графики функций вида y = а х имеют асимптотой ось х.

Логарифмическая функция y = log а х (а – число) а > 0 a 1

Логарифмическая функция Это функция, обратная к показательной. Поэтому ее график симметричен графику функции y = а х относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов. y = log а х y = а х y = log а х

1) D(x) = ( 0 ; + ) 2) Е(у) = ( – ; + ) 3) Возрастает 4) Ось х: (1; 0). Ось у не пересекает. 1. х 1/41/21248 у х 1/41/21248 у y = log 2 х

2.2. х 1/41/21248 у х 1/41/21248 у ) D(x) = ( 0 ; + ) 2) Е(у) = ( – ; + ) 3) Убывает 4) Ось х: (1; 0). Ось у не пересекает.

Выводы для всех функций вида y = log а х 1) D(x) = ( 0 ; + ) 2) Е(у) = ( – ; + ) 3) Если а > 1, то функция возрастает. Если 0 < а < 1, то функция убывает. 2) График проходит через точки (1; 0) и (а; 1). 3) График имеет асимптотой ось у.

Тригонометрическиефункции

1. y = sin х 1) D(x) = ( – ; + ) 2) Е(у) = ( – 1; 1) 3) Ось y: (0; 0). Ось x: (0; 0), (π; 0), (2π; 0)…. (πּn; 0). 4) Возрастает: (-π/2; π/2) Убывает: (π/2; 3π/2) 4) Возрастает: (-π/2+2πn; π/2+2πn) Убывает: (π/2+2πn; 3π/2+2πn)

2. y = cos х 1) D(x) = ( – ; + ) 2) Е(у) = ( – 1; 1) 3) Ось y: (0; 1). Ось x: (π/2; 0), (3π/2; 0)…. (πּn/2; 0). 4) Возрастает: (π; 2π) Убывает: (0; π) 4) Возрастает: (π+2πn; 2π+2πn) Убывает: (2πn; π+2πn)

3. y = tg х 1) D(x) = ( – π/2; π/2)1) D(x) = ( – π/2+ πn; π/2+ πn) 2) Е(у) = ( – ; + ) 3) Ось y: (0; 0). Ось x: (0; 0), (π; 0), (2π; 0) …. (πּn; 0). 4) Возрастает

4. y = ctg х 1) D(x) = ( 0 ; π)1) D(x) = (πn; π+ πn) 2) Е(у) = ( – ; + ) 3) Ось y: не пересекает. Ось x: (π/2; 0), (3π/2; 0) …. (πּn/2; 0). 4) Убывает

1. Используя графики основных тригонометрических функций, постройте графики функций: а) у = sin2x;б) y = sin2x+3 в) y = cos(x+π);г) y = 2cos(x+π)

Иванов И.И., гр. 15 Контрольная работа 1 Вариант … Критерии оценивания За каждый правильный ответ в 1 части начисляется 1 балл. За каждое правильно решенное задание 2 части начисляется 5 баллов. Оценка Количество баллов Неудовлетворительно 0-4 Удовлетворительно 5-10 Хорошо Отлично 15-25