История математики «Парадокс измерения границы» Авторы: Нефедова Юлия, Лоскутова Мария Nefedova Yulia, Loskutova Maria Руководитель: Кузнецова Лариса Викторовна, учитель математики, , Россия, Московская область, г. Климовск, МБОУ СОШ 1, ул. Рощинская, д. 17А, , , ул. Чехова, , ул. Школьная, д.50, корпус 8, кв.63,

В данном проекте мы искали ответ на вопрос: почему нельзя с помощью Евклидовой геометрии измерить сильно изломанные линии, например, границы государств, районов, областей? В частности, перед нами стояла задача измерить границу Подольского района с Новой Москвой. Мы пришли к выводу, что стандартными методами данную проблему решить нельзя. В ходе решения задачи мы познакомились с новыми методами вычисления – фрактальным измерением. В данной работе представлена история возникновения науки – фрактальной геометрии, ее основоположники и последователи, происхождения термина «фрактал», его признаки, алгоритм получения, области использования свойств фракталов и распространения их в повседневной жизни.

Мы решили провести исследование – измерить границы подольского района с Новой Москвой стандартными методами. При масштабе 1: граница оказалась меньше (35 км), чем при масштабе 1:300000(42 км). Можно сделать вывод, что длина границы зависит от масштаба измерения. По сути, чем меньше единичный отрезок, тем больше длина границы.

В 1984 году институтом Гете была устроена необычная выставка «Граница Хаоса», представлявшая собой «живописные портреты» фрактальных структур, выполненные математиками и физиками Бременского университета под руководством Петра Рихтера и Ханца – Отто Пайтгена.

Бенуа Мандельброт – автор термина «фрактал».

1983 год выход в свет книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» год Публикация книги Петра Рихтера и Ханца - Отто Пайтгена «Красота фракталов».

Фракта́л (лат. fractus дроблёный, сломанный, разбитый) сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Береговая линия Британии– пример сложного нелинейного фрактала. Парадокс береговой линии заключается в том нелогичном наблюдении, что береговая линия суши не имеет четко определенной длины. Примером парадокса служит всем известное побережье Великобритании. Если береговая линия Великобритании измеряется с использованием фрактальной единиц в 100 км (62 мили) в длину, то длина береговой линии составляет около 2800 км (1700 миль). С единицей в 50 км (31 миль), общая протяженность составляет около 3400 км (2100 миль), примерно на 600 км (370 миль) длиннее. По сути, тем короче линейка, тем больше измеренной границы. В результате поразило Ричардсона то, что, при определенных обстоятельствах, когда длина линейки стремится к нулю, длина береговой линии также стремится к бесконечности. В итоге, ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно – длина берега Британии бесконечна.

Классификация фракталов Геометрические Алгебраические Стохастические Природные и другие…

Обладают нетривиальной структурой на всех масштабах. Являются самоподобными или приближённо самоподобными. Обладают дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой.

Функция Вейерштрасса обладает сложной изломанной структурой и является самоподобной: форма функции остается неизменной при достижении в в раз вдоль оси абсцисс и в 1/а вдоль оси ординат. На рисунке выделенный участок последовательно увеличивают таким образом при в=4, а=5. Легко видеть, что заключенный в прямоугольник участок является точными копиями предыдущего целого. Функция Вейерштрасса доказывает нам, что каким бы крупным масштаб не был, прямой линии мы не получим.

Свойство фракталов « самоподобие » рассмотрим на примере треугольника Серпинского. Для его построения из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Немного о размерностях. Точка – размерность 0. Линия (отрезок, парабола, окружность) – размерность 1. Двумерные объекты (плоские фигуры) - размерность 2. Трехмерные объекты (многогранники) – размерность 3.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняла всю плоскость.

Линия Пеано Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость(размерность 0).

Деревo Пифагoра Де́рево Пифаго́ра разновидность фрактала основанная на фигуре, известной как « Пифагоровы штаны» Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891 – 1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертежную линейку Одним из свойств дерева Пифагора является то, что если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице. 1. Классическое дерево Пифагора 2. Обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора

Получение кривой Кох Существует простая процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке приведены три первых шага этой процедуры для кривой Кох.

В. Чернов «Мыслящий лист» 1986 г. Сначала фракталы всерьез не воспринимались и существовали как некие математические упражнения, но неожиданно нашли свое применение в различных областях науки, техники и даже живописи.

Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского на круге. Нелинейная фрактальная структура. М. Эшер. Предельный круг IV

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки; бронхиальное дерево, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Природные фракталы

Снежинки

Природные фракталы Горные хребты

Природные фракталы Небесный свод

Природные фракталы Русло реки

Природные фракталы Раковина Наутилуса – изумительно совершенный пример фрактальной структуры в природе. Логарифмическая спираль раковины самоподобна, ее пропорции определяются числами Фибоначчи и коэффициентом золотого сечения. Возможно, динамической симметрией и объясняется завораживающая красота раковины.

Розетка подсолнуха Розетка подсолнуха еще один пример спиралевидного фрактала в природе. В отличие от одной спирали раковины Наутилуса, подсолнух имеет два противоположно закрученных семейства спиралей.

Приемник Коэна Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Фракталы, безусловно, стали и новой страницей нового компьютерного искусства. Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили. Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а, следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Таким образом, фракталы, безусловно, стали областью науки конца 20 века, хотя неисчерпаемое богатство заключенных в них смыслов еще предстоит раскрыть науке 21 века.

Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел.

Используемая литература: В.К. Балханов, Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления, Улан-Удэ, изд-во БГУ,2013; Пайнтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов.- М.: «Мир», 1993; Шредер М. Фракталы, Хаос, Степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая – Ижевск: «РХД», 2001; Фоменко А.Т., Наглядная геометрия и топология. – М.: изд- во МГУ, А.В. Волошин «Математика и искусство», изд-во «Просвещение».