Геометрия

Виды геометрических фигур и их измерения 1. Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех соединяющих их отрезков

Высота Высота – перпендикулярна стороне. АС В а c b h Биссектриса Медиана Медиана – делит сторону пополам. Биссектриса – делит угол пополам.

Периметр: Площадь: 1) 2) 3)

Признаки равенства треугольников 1 признак 2 признак 3 признак

А С В а c b Теорема Пифагора: гипотенуза катет Прямоугольный

АС В а b Равнобедренный а

АС В а а Равносторонний а

Решение треугольников А С В с а b α β γ Теорема синусов: Теорема косинусов: «+» – если γ - тупой «–» – если γ - острый

2. Четырехугольник - геометрическая фигура, состоящая из четырех точек и четырех соединяющих их отрезков. При этом никакие три точки не должны лежать на одной прямой, а отрезки не должны пересекаться

А D В а b h Параллелограмм С

А D В а b Прямоугольник С

А D В а Ромб С а а

А D В а а Квадрат С а а

А D В b c Трапеция С d а k

Правильные многоугольники Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны. Сумма центральных углов = 360º Сумма углов = 180º(n – 2) Все углы равны.

Правильный треугольник -равносторонний Правильный четырехугольник -квадрат Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник

Комбинированные фигуры

10 8

трапеция параллелограмм S1S1 S2S2 S3S3 S3S3

Стереометрия - раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. точка прямая плоскость

Прямые в пространстве пересекающиеся параллельные скрещивающиеся лежат в одной плоскости и имеют общую точку лежат в одной плоскости и не пересекаются не пересекаются и не лежат в одной плоскости

Угол между скрещивающимися прямыми а b α

Теорема о трех перпендикулярах а А В С α АС – наклонная к плоскости α АВ - перпендикуляр ВС – проекция АС С – основание наклонной В – основание перпендикуляра

Плоскости в пространстве пересекающиеся параллельные а b а 1 а 1 b1b1 α β пересекаются по прямой

Угол между плоскостями α β с γ b а Углом между α и β называется угол между а и b

Прямая и плоскость в пространстве Прямая принадлежит плоскости Все точки прямой принадлежат плоскости Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая лежит в этой плоскости Параллельны Пересекаются Не имеют общих точек Если прямая, не лежащая в плоскости, || прямой, лежащей в плоскости, то она || плоскости а b Имеют одну общую точку а а

Угол между прямой и плоскостью Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость а α γ

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекаю- щимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. α с b a

Многогранные углы

Двугранный угол – фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а прямая – ребром. α α – линейный угол двугранного угла грань ребро

Трехгранный угол – фигура, состоящая из трех плоских углов: (ab), (ac), (bc). Это грани, их стороны – ребра. Двугранные углы, образованные гранями называются двугранными углами трехгранного угла

Многогранный угол Сумма плоских углов меньше 360˚

Многогранники Многогранник – это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников – граней. Стороны многоугольников называются ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

Призма – многогранник, состоящий из двух равных многоугольников (оснований), лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами. Боковая поверхность состоит из параллелограммов (боковых граней).

Если боковые ребра перпендикулярны основанию, то призма называется прямой. В противном случае – наклонной. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.

Площадь полной поверхности призмы: Для прямой призмы: S полн = 2S осн + S бок S бок = Р осн h Объем: V = S осн h

Параллелепипед – призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым и наклонным.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

S полн = 2 (ab + bc + ac) V = a b c S полн = 2 (ab + bc + ac) V = a b c Для куба:

Пирамида

– многогранник, состоящий из плоского многоугольника (основания), точки, не лежащей на основании (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Боковые грани – треугольники. Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. Высота боковой грани пирамиды называется апофемой. S полн = S осн + S бок l - апофема

Усеченная пирамида Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отсекает от нее подобную ей пирамиду. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой. Основаниями являются подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции.

Правильные многогранники Многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер.

1. Тетраэдр – треугольная пирамида, у которой все ребра равны. Грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится три ребра. « Тетра » = четыре

2. Куб (гексаэдр) – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Грани – квадраты. В каждой вершине сходится три ребра. « Гекса » = шесть

3. Октаэдр Грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится четыре ребра. « Окта» = восемь

4. Додекаэдр Грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится три ребра.

5. Икосаэдр Грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится пять ребер.

Тела вращения – это тела, описываемые плоской фигурой при вращении ее вокруг неподвижной оси.

Цилиндр – тело, состоящее из двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги – основания. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей, – образующие. Если образующие перпендикулярны основанию, цилиндр называется прямым.

Радиусом цилиндра называется радиус основания. Ось - прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим образующая ось h R l O O1O1 V = R 2 h S бок = 2 R h S осн = R 2 S полн = S бок + 2S осн

Конус – тело, состоящее из круга (основания), точки, не принадлежащей кругу (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину с точками окружности, – образующие. Конус называется прямым, если перпендикуляр, опущенный из вершины, совпадает с центром круга. Тогда он называется осью.

образующая ось h R l O S S бок = R l S осн = R 2 S полн = S бок + S осн

S полн = S бок + S осн 1 + S осн 2 Усеченный конус образующая ось h R l O O1O1 S бок = (R 1 + R 2 ) lc

Шар Сфера (шаровая поверхность) – множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от заданной точки (центра). Это расстояние называется радиусом. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Расстояние от любой точки шара до центра не превосходит радиуса шара.

S = 4 R 2

Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая от него плоскостью. S = 2 Rh R – радиус шара h – высота сегмента h r R

Шаровой сектор – тело, полученное из шарового сегмента и конуса, у которого вершина – центр шара, а основание – основание сегмента. Если сегмент меньше полушара, то конус к нему добавляется, а если больше – удаляется из него. R – радиус шара h – высота сегмента