Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII в. немецкий логик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное суждение (высказывание) или ложно. Но идея Лейбница оказалась неподтвержденной, так как до сих пор не найден способ свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Подлинный прогресс науки, называемой математической логикой, был достигнут в середине XIX в. прежде всего благодаря труду английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики». Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме. В трудах Дж. Буля и О. де Моргана математическая логика представлена как своеобразная алгебра алгебра логики (алгебра высказываний).

В развитии математической логики приняли участие многие выдаю­щиеся математики и логики конца XIX и XX в., в том числе К. Гедель (Австрия), Д. Гильберт (Германия), С. Клини (Америка), Э. Пост (Амери­ка), А. Тьюринг (Англия), А. Черч (Америка), российские ученые А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков и многие другие.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область и находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (анализ и синтез автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).

Алгебра логики (алгебра высказываний) раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А ложно».

Истинность или ложность высказывания не обязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и его субъективного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых специально разработанных объективных методов.

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому как в алгебре чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над действительными числами).

Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Инверсия (логическое отрицание)-образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что» A A В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству.

Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и». Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказы­вание ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и ис­тинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Строгая дизъюнкция (исключающее или) Строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истинно, и ложна, когда оба одно высказывания истинны или оба ложны.

Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...». Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны

Приоритет логических операций 1. Инверсия 2. Конъюнкция 3. Дизъюнкция 4. Импликация 5.Эквивалентность