Лекция. «Оптимальное управление. Модели сравнения и выбора» 1. Основные определения и понятия управления. 2. Управление и информация. 3. Принятие решений в условиях определенности. 4. Целевая функция. 5. Переменные решения. 6. Параметры модели и ограничения.

1. Основные определения и понятия управления Управление - это функция системы, ориентированная либо на достижение цели ее работы, либо на сохранение ее основных свойств. Систему, в которой реализуются функции управления называется «системой управления». В таких системах выделяют «управляющий» и «управляемый» элементы. «Управляющий элемент» является источником управленческих воздействий, следовательно, он может быть рассмотрен как субъект управления. В организационных системах таким субъектом является лицо, принимающее решение (ЛПР), которое действует согласно цели управления. «Управляемый элемент» определяется как объект управления. Модель информационной системы как единого целого предполагает, что между управляющим и управляемым элементами (впрочем, как между любыми элементами и подсистемами систем) существуют каналы связи. По этим каналам передается информация об управляющих воздействиях и о реакции на полученные сообщения. «Управляющий» и «управляемый» элементы объединены в контур взаимного обмена информацией.

Для оценки реакции системы Y на управляющее воздействие в теории управления принято использовать понятие импульсной переходной функции Y = f(t). Если возмущение системы успокаивается, т.е. Y = f(t) стремится к 0 при, и она начинает работать в соответствии с заданной изначально программой, то в этом случае говорят, что система устойчива.

Если система успокаивается, но режим ее работы меняется, т.е. Y = f(t) стремится к const при, в этом случае говорят, что система квазиустойчива.

Если реакция системы такова, что, Y = f(t) изменяется неограниченно при, то система неустойчива.

Устойчивость системы Для описания результата управления требуется введение термина «устойчивость системы», включающего в себя ее способность регулярно давать управляющему элементу выходную информацию о соответствии работы системы заданной программе. Например, имеется описание некоторой системы в виде выходной характеристики: Y = f(Х), где: X это входное, а Y выходное информационное сообщение.

Критерий устойчивости по Ляпунову Примечание. Ляпунов Алексей Андреевич - выдающийся советский математик, один из основоположников кибернетики, член-корреспондент АН СССР. Специалист в области теории функций вещественного переменного и математических вопросов кибернетики. Основные труды относятся к теории множеств, теоретическим вопросам программирования, математической лингвистике, математической биологии.кибернетикиАН СССРтеории функций вещественного переменного кибернетики теории множеств математической лингвистике математической биологии Пусть программой работы системы задана выходная функция, имеющая теоретический вид Y=f(Х). Реальная выходная функция будет имеет вид Y= f 1 (X). Значит для ряда значений X мы будем иметь отличную от 0 разницу: Исходя из практических условий, введем значение величины, определяющее допустимый предел отклонений. В этом случае будем считать нашу систему устойчивой по критерию Ляпунова, если выполняется условие: для каждого X.

Если зависимость Y= f(X) поместить условно в «трубу» радиуса и зависимость Y= f 1 (X) не выйдет за пределы этой «трубы», то нашу систему можно считать устойчивой.

2. Управление и информация Управление рассматривается как процесс упорядочения управляемых объектов, а информация - как процесс упорядочения отражения. Центральным моментом в процессе управления, где бы он ни протекал, является акт выбора действия из некоторого множества возможных вариантов с их специфическими исходами. Сущность выбора состоит в том, что он ограничивает неопределенность поведения активного элемента системы и, стало быть, обусловлен появлением информации. Следовательно, ВЫРАБАТЫВАЯ ИНФОРМАЦИЮ, УПРАВЛЕНИЕ ПРОТИВОСТОИТ ТЕНДЕНЦИИ К ВОЗРАСТАНИЮ ЭНТРОПИИ.

Акт управления может быть случайным или целенаправленным. Целенаправленный акт управления называют ПРИНЯТИЕМ РЕШЕНИЯ. Рассматривая информацию одновременно учитываем с ней и сущность ее материального носителя. ИНФОРМАЦИЯ ОТНОСИТСЯ К УПРАВЛЕНИЮ, КАК ОБЪЕКТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ПРОЦЕССУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. На существующем уровне знания излагаемая теория в процессе управления позволяет только определить количество информации относительно некоторого объекта в заданной ситуации. Рассматривая средство преобразования информации как канал связи, теория информации позволяет установить его пропускную способность и тем самым оценить в определенном аспекте его пригодность для выполнения тех или иных функций.

3. Принятие решений в условиях определенности Количественный анализ любой реальной ситуации управления всегда требует введения некоторых упрощений и схематизации (построения модели, в которой несущественные детали игнорируются, а наиболее важные формализуются и описываются на специальном математическом языке). Цель количественных моделей и методов заключается в нахождении оптимальной (рациональной) стратегии управления в условиях, когда все параметры и правила функционирования управляемой системы четко определены и не подвержены никаким случайным воздействиям.

4. Целевая функция Величина, значение которой количественно характеризует цель, а также может зависеть и от некоторых других величин, которые могут изменяться называется целевой функцией. Повышение эффективности управления объектом Эффективное использование ресурсов ИС Ц1Ц1 Ц2Ц2 Ц3Ц3 Ц4Ц4 Ц5Ц5 Ц6Ц6 К1К1 К2К2 К4К4 К5К5 К6К6 К3К3 Эффективное решение поставленной задачи

Примечание. При проведении исследований следует обязательно учитывать, что одновременное достижение нескольких целей может быть практически неосуществимо. Эффективность работы информационной системы при достижении любой цели выражается при помощи набора числовых характеристик, называемых критериями эффективности. Каждый критерий количественно определяет степень соответствия между результатами проектирования или функционирования ИС и поставленными перед ней целями. Так, критериями эффективности для целей: 1) Повышение эффективности управления объектом (цели Ц 1 -Ц З ): : Ц1 - максимальная полнота информации для обеспечения своевременного и качественного принятия решения; Ц 2 - представление информации с максимально возможной скоростью; Ц З – обеспечение максимального удобства взаимодействия информационной системы с потребителями информации. 2) Эффективное использование ресурсов ИС, где целями могут быть (цели Ц 4 - Ц 6 ): Ц 4 - сокращение расходов на создание, эксплуатацию и развитие ИС; Ц 5 - максимальное извлечение выходной информации из имеющегося объема данных; Ц 6 - сокращение избыточной информации в базе данных. соответственно будут: К 1 - отношение объема информации в базе данных к объему информации на объекте управления; К 2 - время обработки информации в ИС; К 3 - время, которое потребители расходуют на запрос необходимой информации и ее использование в управлении; К 4 - сумма капитальных вложений и текущих затрат на создание, эксплуатацию и развитие ИС; К 5 - отношение объемов входной и выходной информации; К 6 - доля избыточной информации в общем объеме данных.

Критерий – мерило, точка зрения, т.е. правило или норма, по которому отбираются те или иные средства достижения цели. Критерии эффективности позволяют решать вопросы выбора средств для достижения цели путем оптимизации аналитических выражений различными методами. Однако значительная часть критериев систем носит и качественный характер, так как такого аналитического выражения получить не возможно. При проектировании могут оцениваться по целому комплексу критериев: вся информационная система в целом; некоторые отдельные составляющие на этапе проектирования системы (например, проекты информационного, программного и технического обеспечения); важнейшие компоненты на этапе эксплуатации системы (например, подготовка информации, ее обработка и хранение информационных массивов). Критерий оптимальности – фундаментальное понятие системы оптимального функционирования, важнейший элемент любой оптимизационной модели, показатель, выражающий предельную меру эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных (альтернативных) решений и выбора наилучшего.

5. Переменные решения Величины, которые мы можем изменять и от которых зависит целевая функция, называются переменными решения. Например. 1) Пусть имеем (переменные решения) количества единиц продукции каждого типа, которые может выпускать фабрика: х 1, х 2,... х i. Всего количество изделий может быть – n. 2) Количество единиц продукции, перевозимой с базы S i в магазин D j (количество магазинов m) соответствует х ij. Тогда, количество этих переменных равно произведению количества баз на количество магазинов. По-другому эти величины можно назвать неизвестными, так как мы стремимся найти такие их значения, при которых целевая функция будет достигать максимума (или минимума). Мы будем обозначать переменные решения буквой х. Поскольку в задачах управления обычно бывает много переменных решения, они обозначаются буквами с индексом – x i, x j и т.п.

6. Параметры модели и ограничения. В ходе решения, при поиске максимума или минимума целевой функции, числа которые считаются неизменными, постоянными, называются параметрами модели. Оптимальное решение (значения переменных решения), при которых целевая функция достигает максимума (или минимума), также зависит от параметров модели. Условия, ограничивающие изменения переменных решения в процессе поиска максимума (или минимума) целевой функции, называются ограничениями оптимизационной задачи. Любой набор переменных решения, удовлетворяющих этим ограничениям, мы будем называть допустимым решением (или допустимым планом). Оптимальное решение - это такое допустимое решение, которое отвечает наибольшему (или наименьшему) значению целевой Функции.