Выполнила: Строгонова И., ученица МОУСОШ1 11В класса Руководитель: Жданова О.А. Г.Лиски 2009 год

Теоремы Менелая и Чевы – это замечательные теоремы, которые просты, интересны и находят свое применение при решении весьма сложных задач. Существуют разные способы их доказательств. Мне хотелось бы рассмотреть некоторые из них и разобраться, какие являются более простыми и понятными.

Джованни Чева –Ceva Giovanni) ( , Милан, , Мантуя) - итальянский инженер и математик. Окончил Пизанский ун-т. Основные работы по геометрии и механике. Доказал (1678) теорему о соотношении отрезков нек-рых прямых, пересекающих треугольник (теорема Чевы). Построил учение о секущих, которое положило начало синтетической. геометрии; оно изложено в сочинение. "О взаимно пересекающихся прямых" ("De line is rectis se inuicem secantibus", Mediolani, 1678

Менелай Александрийский математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в "Алмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай Александрийский произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Рождества Христова Менелаем были написаны два сочинения: "О вычислении хорд", в 6 книгах, и "Сферика", в 3 книгах. Из них первое совсем не дошло до нас. Утрачен также и греческий оригинал второго, содержание которого известно современной науке по его латинским переводам, составленным по взаимно подтверждающим друг друга арабским и еврейским переводам того же сочинения. Из латинских переводов лучшим считается перевод Галлея (Оксфорд, 1758). Главным предметом "Сферики" Менелай Александрийский служит сферическая тригонометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенно теорема Менелай Александрийский, которая прежде называлась правилом шести количеств (regula sex quantitatum).

1. Формулировка теоремы Менелая: Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причем Тогда если точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой, то pqr=-1; обратно: если pqr=-1, то точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой (Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон ВС, СА и АВ треугольника АВС соответственно в точках А1, В1, С1, то имеет место равенство

Доказательство. Докажем, что pqr=-1. С1, А1, В1 лежат на оси Оу, а,в и с – абсциссы точек С1, А1, В1. 0-а=р(в-0), т.е. а=-рв. Из равенства следует, Аналогичным образом из равенств, в=-qc и c=-ra а=-рв=-pqc=-pqra, или а(pqr + 1)=0, поэтому либо а=0, либо pqr=-1. если а=0, то с= -ra=0 и в=-qc=0, т.е. точки А,В,С лежат на одной прямой (оси Оу), а это противоречит условию. Следовательно, pqr=-1. Допустим сначала, что точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой

Допустим, что pqr=-1, и докажем, что точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой. а,в и с – абсциссы точек С, А, В, х – абсцисса точки В1. Из равенств следует, что а=-рв и в=-qc. Таким образом, а=pqc. Из равенства следует, что х-с=r(а-х). Умножая обе части этого равенства на pq и учитывая, что pqr=- 1, а=pqc, получаем: pqx-a=-a+x, или (pq -1)x=0. Если pq=1, то из равенства pqr=- 1 следует, что r=-1, а этого не может быть. Таким образом, рq не равно 1, а значит, х=0. Следовательно, точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой.

Формулировка теоремы Чевы: Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причем Тогда если прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то pqr=1; обратно: если pqr=1, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны. (Пусть на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1. Прямые АА1, ВВ1, СС1, пересекаются в одной точке тогда, когда

Рассмотрим треугольник АВС и отметим на прямых АВ, ВС и СА точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами. Пусть При этом р, q, к не равно 0 и не равно -1. Поставим такой вопрос: при каком соотношении между числами p,q,r прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке. Доказательство. S(A,B,A1)/S(A,A1,C)=q и S(O,B,A1)/S(O,A1,C)=q, то S(A,B,A1)=q S(A,A1,C) и S(O,B,A1)= q S(O,A1,C). Следовательно, S(A,B,O)/S(A,O,C)= S(A,B,A1)- S(O,B,A1)/ S(A,A1,C)- S(O,A1,C)= = q S(A,A1,C)- S(O,A1,C)/ S(A,A1,C)- S(O,A1,C)= q. Итак, q=S(A,B,O)/S(C,O,B). Аналогично r=S(B,C,O)/S(B,O,A) и p=S(C,A,O)/S(C,O,B). Перемножая эти равенства и замечая, что S(A,B,O)= = S(B,O,A), S(A,O,C)= S(C,A,O), S(B,C,O)= S(C,O,B), получаем: pqr= S(C,A,O)/ S(C,O,B)* S(B,O,A)/ S(C,A,O)* S(C,O,B)/ S(B,O,A)=1.

Допустим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 попарно параллельны. Введем прямоугольную систему координат Оxy, так, чтобы ось Оу была параллельна АА1. Пусть а – абсцисса точек А и А1, в - абсцисса точек В и В1, с – абсцисса точек С и С1. Из равенств следует, что (с-а)=р(в-с), (а-в)=q(с-а) и (в-с)=r(а-в). Учитывая, что с не равно в, с не равно а и а не равно в, получаем: р=(с-а)/(в-с), q=(а-в)/(с-а), r=(в-с)/(а-в), и, следовательно, pqr=1. Допустим теперь, что pqr=1, и докажем, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны. Поскольку pqr=1 и р не равно -1, то, qr= S(A,B,O)/S(A,O,C)* S(B,C,O)/S(B,O,A)= S(B,C,O)/ S(A,O,C)= =- S(B,C,O)/S(A,C,O) не равно -1, Поэтому S(B,C,O) не равно S(A,C,O). Из этого следует, что прямые СО и АВ не параллельны. Пусть С2 – точка их пересечения tqr=1, откуда t=1/qr=p. С1 и С2 совпадают это и означает, что АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке (в точке О).

Доказательство теоремы Менелая (2). Треугольники А1ВС1 и А1СD подобны, треугольники В1АС1 и В1СD также подобны. Поэтому ВА1:А1С=ВС1:DC, СВ1:В1А=DС:АС1. – ненулевые коллинеарные векторы Докажем обратную теорему. т.е. точки С1 и С совпадают.

Доказательство теоремы Чевы(2).

Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что с её помощью легко доказываются следующие свойства: 1. медианы треугольника пересекаются в одной точке; 2. высоты треугольника пересекаются в одной точке; 3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке; 4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.

Задача 1. Доказать, что середина отрезка, соединяющего точки пересечения продолжений противоположных сторон четырехугольника, лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей. Решение. Пусть противоположные стороны четырехугольника АВСD пересекаются в точках Е и F. Докажем, что середина L отрезка EF, середины диагоналей BD и АС четырехугольника АВСD лежат на одной прямой. Через точки L, M и N проведем прямые соответственно параллельные сторонам треугольника ВСЕ: LC1//BC, MA1//CE, NB1//BE. Эти прямые, согласно теореме Фалеса, пересекают стороны ВЕ, ЕС и СВ треугольника ВСЕ в их серединах С1, В1, А1. Таким образом, интересующие нас точки L, M и N лежат на продолжениях сторон треугольника А1В1С1, стороны которого являются средними линиями треугольника ВСЕ. Чтобы доказать, что L, M и N лежат на одной прямой, достаточно доказать соотношение (В1L/LC1)*(C1M/MA1)*(A1N/NB1)=-1. В силу свойства средней линии треугольника В1L= 1/2CF, LC1=1/2FB.

Следовательно, (В1L /LC1)=( CF/ FB) Аналогично находим: (C1M/MA1)= (ED/DC), (A1N/NB1)=(BA/AE). Таким образом, левая часть доказываемого равенства принимает вид ( CF/ FB)* (ED/DC)* (BA/AE). А это произведение равно -1, согласно теореме Менелая, примененной к треугольнику ВСЕ.

Задача 2. В треугольник АВС вписана полуокружность так, что ее диаметр лежит на стороне ВС, а дуга касается сторон АС и АВ соответственно в точках С1 и В1. Доказать, что прямые ВВ1 и СС1 пересекаются на высоте АА1 треугольника. Решение. Из условия задачи следует, что точки А1, В1 и С1 лежат на сторонах треугольника АВС. Следовательно достаточно доказать, что (ВА1/А1С)*(СВ1/В1А)*(АС1/С1В)=1. Центр О полуокружности соединим с точками касания В1 и С1. Обозначив через r радиус окружности, из прямоугольных треугольников ОВС и ОСВ находим: СВ1= r ctg C, C1B= r ctg B. Из прямоугольных треугольников АВА1 и АСА1 имеем: ВА1=АА1 ctg B., А1С= АА1 ctgС. Заметив еще, что отрезки АВ1 и АС1 касательных к окружности равны, получим: (ВА1/А1С)*(СВ1/В1А)*(АС1/С1В)=( ctg B/ ctgС)*( ctgС/ ctg B)=1.

Заключение. Итак, я нашла несколько доказательств теорем Менелая и Чевы. Именно вторые, приведенные мной, доказательства являются более простыми, короткими и понятными. А так же убедилась в том, что действительно применение этих теорем помогает решить весьма сложные задачи.