Простые вычисления квадратных и кубических корней Работу выполнил учащийся 8 класса Мялковский Владислав Работу выполнил учащийся 8 класса Мялковский Владислав Руководитель работы Руководитель работы учитель математики Акишина Л.В. ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перемешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины: Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перемешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины: Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах, особенно в текстовых. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах, особенно в текстовых. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно. Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Для вычисления квадратных корней есть алгоритм, с помощью которого можно будет легко вычислять квадратные корни. Алгоритм: 1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными Останется 10 чисел. Из них отсеять те, которые точно не могут быть корнями. 3. Останется 12 числа. Возвести их в квадрат и сравнить с исходным числом. Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

1. Ограничение корней 1. Ограничение корней В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Нужно, чтобы эти числа были кратны 10: В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Нужно, чтобы эти числа были кратны 10: 10 2 = 100; 20 2 = 400; 30 2 = 900; 40 2 = 1600; = 8100; = Что же означают эти числа? Это своеобразные границы. Например, возьмём число 546. Оно лежит между числами 400 и 900. Значит, корень из числа 546 не будет меньше 20 и больше 30. Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

2. Отсев заведомо лишних чисел 2. Отсев заведомо лишних чисел Итак, у нас есть 10 чисел, которые могут стать корнями, но мы может сократить это количество до 2 чисел. Достаточно знать специальное правило: Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа. Для того, чтобы понять правило, составим таблицу: Эта таблица еще один шаг на пути к вычислению корня. Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней Число Последняя цифра квадрата этого числа ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

3. Финальные вычисления 3. Финальные вычисления Итак, у нас остались 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем. Итак, у нас остались 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем. Вот и все! При этом, чтобы упростить вычисления, мы воспользовались формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Итак, теперь найдём корень любого числа с помощью разобранного способа вычисления квадратных корней. Вычислим квадратный корень из числа Для начала выясним, между какими числами лежит число 8836: 1) 8100 < 8836 < ) 90 2 < 8836 < Теперь смотрим на последнюю цифру числа Она равна 6. Когда это происходит? Смотрим на таблицу. Когда корень заканчивается цифрой 4 или 6. Получаем числа 94 и Осталось возвести в квадрат каждое число, которое у нас получилось: 94 2 = (90 + 4) 2 = Превосходно! Получилось, что квадратный корень из числа 8836 равен 94! Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Примеры: Вычислим квадратный корень из числа ) < < ) < < ) < < Последняя цифра числа равна 6. Значит число, возводимое в квадрат, заканчивается цифрой 4 или на 6. Искомое число 114 или Возводим получившиеся числа в квадрат, чтобы найти корень из числа 12996: = = = = Квадратный корень из числа равен 114. Квадратный корень из числа равен 114. Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Вычислим квадратный корень из числа ) 1600 < 2304 < ) 40 2 < 2304 < ) 40 2 < 2304 < Последняя цифра числа 2304 равна 4. Значит число, возводимое в квадрат, заканчивается цифрой 2 или 8. Искомое число 42 или Возводим получившиеся числа в квадрат, чтобы найти корень из числа 2304: 42 2 = = = = 2304 Квадратный корень из числа 2304 равен 48. Квадратный корень из числа 2304 равен 48. Вычисление квадратных корней Вычисление квадратных корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Для лёгкого вычисления кубических корней нужно будет вычислить кубы чисел от 1 до 10 или воспользоваться следующей таблицей: 1 3 = = = = = = = = = = 1000 Вычисление кубических корней Вычисление кубических корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

При составлении этой таблицы можно заметить, что все цифры, на которые оканчиваются кубы, различны,. Причём во всех случаях, за исключением 2 и 3, а также 7 и 8, последняя цифра куба совпадает с числом, возводимым в куб. В исключениях же последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб. При составлении этой таблицы можно заметить, что все цифры, на которые оканчиваются кубы, различны,. Причём во всех случаях, за исключением 2 и 3, а также 7 и 8, последняя цифра куба совпадает с числом, возводимым в куб. В исключениях же последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб. Вычисление кубических корней Вычисление кубических корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Теперь проверим, как это обстоятельство используется для быстрого извлечения кубического корня. Возьмём, например, число Последняя цифра этого числа 7 (Смотрим на таблицу). Из этого следует, что последней цифрой кубического корня должно быть 3. Чтобы найти первую цифру корня, нужно зачеркнуть последние три цифры куба (независимо от количества его цифр) и рассмотрим цифры, стоящие впереди, в нашем случае это 250. По нашей таблице число 250 лежит между числами 216 и 343: Теперь проверим, как это обстоятельство используется для быстрого извлечения кубического корня. Возьмём, например, число Последняя цифра этого числа 7 (Смотрим на таблицу). Из этого следует, что последней цифрой кубического корня должно быть 3. Чтобы найти первую цифру корня, нужно зачеркнуть последние три цифры куба (независимо от количества его цифр) и рассмотрим цифры, стоящие впереди, в нашем случае это 250. По нашей таблице число 250 лежит между числами 216 и 343: 1) 216 < 250 < 343 2) 6 3 < 250 < 7 3. Меньшая из этих цифр в нашем случае 6 и будет первой цифрой кубического корня. Поэтому правильным ответом будет 63. То есть куб числа 63 равен Меньшая из этих цифр в нашем случае 6 и будет первой цифрой кубического корня. Поэтому правильным ответом будет 63. То есть куб числа 63 равен Вычисление кубических корней Вычисление кубических корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Чтобы до конца уяснить суть дела, приведём ещё один пример. Извлечём кубический корень из числа Его последняя цифра 5 указывает, что последней цифрой кубического корня будет 5. Зачёркиваем три последние цифры, получаем число 15, которое лежит между цифрами 8 и 27: 1) 8 < 15 < 27 2) 2 3 < 15 < 3 3 Меньшим из этих чисел будет 2, поэтому искомым кубическим корнем из числа будет 25. Вычисление кубических корней Вычисление кубических корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Примеры: Вычислим кубический корень из числа Последняя цифра нашего числа указывает, что последней цифрой кубического корня будет Зачёркиваем три последние цифры числа и получаем 79: 1) 64 < 79 < 125 2) 4 3 < 79 < Меньшим из этих чисел будет 4, значит искомый кубический корень из числа равен 43. Вычисление кубических корней Вычисление кубических корней ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Может показаться странным, но для извлечения целочисленных корней из степеней более высоких, чем третья, существуют более простые правила. Особенно легко находить корни пятой степени, потому что любое число и его пятая степень всегда оканчиваются одной и той же цифрой. Может показаться странным, но для извлечения целочисленных корней из степеней более высоких, чем третья, существуют более простые правила. Особенно легко находить корни пятой степени, потому что любое число и его пятая степень всегда оканчиваются одной и той же цифрой. Интересный факт Интересный факт ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

Таблица пятых степеней от 1 до 10 : 1 5 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Интересный факт Интересный факт ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ

По таблице чисел в пятой степени мы видим, что последняя цифра степени равна числу возводимым в пятую степень. По таблице чисел в пятой степени мы видим, что последняя цифра степени равна числу возводимым в пятую степень. Интересный факт Интересный факт ШКОЛА ПОСОЛЬСТВА РОССИИ В ИЗРАИЛЕ