Алгебра логики

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Операции над логическими высказываниями: Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание А истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.

Операции над логическими высказываниями: Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается точкой (может обозначаться знаком или &). Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Операции над логическими высказываниями: Операция, выражаемая связкой «или», называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается знаком V или +. Высказывание А+В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Операции над логическими высказываниями: Операция, выражаемая связками «если..., то», «из … следует», «…влечет…», называется импликацией и обозначается знаком. Высказывание АВ ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Операции над логическими высказываниями: Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «… равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или. Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Схема И реализует конъюнкцию двух и более логических значений Х Y Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. & XYX*Y

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух и более логических значений Х Y Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на ее выходе также будет единица. 1 XYXVYXVY XVYXVY

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания Х Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. XX X

Схема И – НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И ХYХY & XY(X * Y)

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ ХYХY 1 XY(X V Y)

Основные законы алгебры логики Закон Для ИЛИДля И ПереместительныйX V Y=Y V XX*y=y*x СочетательныйX V (y V z)= (x V y) V z(x*y)*z = x*(y*z) РаспределительныйX*(y V z) = x*y V x*zX v y *z = ( x v y)*(x v z) Правило де Моргана(x V y) = x * y(x*y)=x v y ИдемпотенцииX V x=xX*x=x ПоглощенияX V x*y=xX*(x v y)= x Склеивания(x*y)v (x*y)=y(x v y)*(x v y)=y Операция переменной с ее инверсией X v x=1X*x = 0 Операция с константамиX v 0 =x; x v 1 =1X*1=1; x*0 = 0 Двойного отрицания x = x