Векторы в пространстве

Определение: вектором называется направленный отрезок – отрезок, начало и конец которого упорядочены М К М – начало вектораК – конец вектора А Обозначение вектора: МК Длина (модуль) вектора МК- длина отрезка МК Отложить от заданной точки данный вектор, значит построить вектор, равный данному с началом в заданной точке. От точки А отложим вектор АН = МК Н Основные определения и понятия

Определение: векторы называют коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают аb a b c a c Определение: коллинеарные векторы сонаправлены (а с), если лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала Определение: коллинеарные векторы называют противонаправленными (аb), если они лежат по разные стороны от прямой, проходящей через их начала a b Определение: векторы называют равными, если они сонаправлены и равны по длине (по модулю) a х хa Определение: вектор, модуль которого равен нулю, называют нулевым вектором.

Действия над векторами Сложение векторов Правило треугольника a b А a В С b a+b АВ+ВС=АС Правило параллелограмма А a b a+b Свойства сложения: С коммутативность (переместительность) a a b b a+b ab+ ab+a+b= ассоциативность (сочетательность) А В С D (AB+BC)+CD=AB+(BC+CD) AC+CD = AB+BC AD = AD AB+BC+CD

Действия над векторами Вычитание векторов a b a-b А Правило треугольника B C AC – AB = BC a b Вычитание вектора с помощью противоположного Определение: два вектора называются противоположными если их сумма равна нуль-вектору и обозначаются а и -а А А В АВ = – ВА С В АВ – СВ = АВ + ( – СВ ) = АВ + ВС = АС АВ – СВ = АВ + ВС АС = АВ + ВС AC – AB = BC АВ + ВА = 0 АВ = – ВА АВ – СВ = АВ + ВС

Действия над векторами Умножение вектора на число a a a a 3a3a |k a| = |k| |a| k a a, если k>0 k a a, если k

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам O P А А1А1 В В1В1 Получили точки А 1 и В 1 Разложить вектор р по векторам а и b, значит найти такие числа х и у, чтобы выполнялось равенство р=ха + уb значит найдутся числа х и у: ОА 1 = х ОА, ОВ 1 = у ОВ 1)Через конец вектора Р проведем прямые, параллельные базисным векторам ОА и ОВ 2) Имеем ОА 1 ||ОА и ОВ 1 ||ОВ Рассмотрим вектор p=OP и базисные векторы а=ОА и b=OB Замечание: если, например, ОА 1 ОА, то х

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам А А1А1 В В1В1 P O C C1C1 Рассмотрим вектор p=OP и базисные векторы а=ОА, b=OB, c=OC 2) Имеем ОА 1 ||ОА ОВ 1 ||ОВ, OC 1 ||OC значит найдутся числа х, у, z: ОА 1 = х ОА, ОВ 1 = у ОВ, OC 1 = z OC Получили параллелепипед 1)Через конец вектора р проведем прямые, параллельные базисным векторам ОА, ОВ, ОС

Действия над векторами Скалярное умножение векторов Определение: скалярным произведением векторов а и b называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними Скалярное произведение векторов это число. Свойства скалярного произведения: a · b=|a| · |b| · cos(a, b) a · b = b · a переместительность (ka) · b = k(a · b) сочетательность (a + b) · c = a · c + b · c распределительность а 2 = | а | 2 скалярный квадрат Необходимое и достаточное условие равенства скалярного произведения нулю a · b = 0 a = 0 b = 0 a b взаимная перпендикулярность ненулевых векторов