Кафедра медицинской и биологической физики Тема: Элементы теории вероятностей лекция 10 для студентов 1 курса обучающихся по направлению подготовки Социальная работа Лектор к.ф-м.н., доцент Ремизов И.А. Красноярск, 2014

План лекции: 1. Актуальность темы 2. Случайное событие. Вероятность события. 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 5.Выводы

Тема «Элементы теории вероятностей » является основополагающей при изучении основных разделов математической статистики, без которой невозможна количественная оценка научных и практических данных.

Несовместными называются события, которые не могут одновременно произойти в одном испытании Совокупность случайных событий А 1, А 2,А 3,…А n называется полной группой для данного испытания, если в результате испытания обязательно происходит только одно из событий этой совокупности Два события (А и ) называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого противоположное событие (читается «не А»)

Алгебра событий Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие А+В состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из них Произведением (совмещением) двух событий А и В называется событие АВ состоящее в их совместном появлении

Пример: В поле наблюдения микроскопа находятся четыре клетки. За время наблюдения каждая из них может как разделиться, так и нет. Рассматриваются события: А – разделилась ровно одна клетка В – разделилась хотя бы одна клетка С – разделилось не менее двух клеток D – разделились ровно две клетки E – разделились ровно три клетки F – разделились ровно четыре клетки В чем состоят события: 1) А+B; 2) АB; 3) В+C; 4) ВC; 5) D+E+F; 6) BF? Верны ли равенства: 7) BF=C; 8) ВC=D? Ответы:1)B; 2) А; 3) B; 4) C; 5) C; 6) F; 7) верно; 8) нет

Пример: Из множества обследованных детей наугад выбирается одна пара. События: А – первый ребенок болел коклюшем; В – второму ребенку сделана прививка; С – второй ребенок тоже болел коклюшем. Выяснить смысл событий: АС, ВС, АВС,,, В +А. Ответы: АС – оба ребенка болели коклюшем; ВС – второму ребенку сделана прививка, но он болел коклюшем; АВС – оба ребенка болели коклюшем, причем второму сделана прививка; – оба ребенка болели коклюшем, причем второму не сделана прививка; – второму ребенку сделана прививка, он не болел коклюшем; В +А – либо первый, либо второй ребенок болел коклюшем.

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных событий (m) к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных событий (n), образующих полную группу. Чтобы рассчитать классическую вероятность необходимо до проведения испытаний теоретически подсчитать: общее число всех равновозможных несовместных элементарных событий (n) число благоприятствующих этому событию равновозможных несовместных элементарных событий (m)

Комбинаторика Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число возможных перестановок рассчитывается по формуле: P n = n!, n!= 123…n, причем 0!=1, 1!=1 Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются либо элементами, либо их порядком. Число возможных размещений

Статистическое определение вероятности Относительной частотой W(А) события А называется отношение числа опытов (m), в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов (n). Относительная частота меняется для данного события мало – тем меньше, чем больше число испытаний. Вероятностью события А называют число, к которому стремится относительная частота события А при увеличении числа испытаний.

Свойства вероятности: Вероятность достоверного события Р=1 Вероятность невозможного события Р=0 Вероятность случайного события 0

Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме их вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Следствие: Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу равна 1. Р(А 1 +А 2 +…+А n )=Р(А 1 )+Р(A 2 )+…+P(A n )=1 Для противоположных событий

Условной вероятностью P A (B) называют вероятность события В, вычисленную при условии, что событие А уже произошло: P A (B)= P(A В)/Р(А) Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(A В)=P(A) P A (B)

Формула полной вероятности Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В 1,В 2,В 3,…,В n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В 1 )Р В1 (А)+Р(В 2 )Р В2 (А)+… +Р(В n )P Bn (A)

Формула Байеса Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как проведено испытание, в результате которого произошло событие А.

Биноминальное распределение. Формула Бернулли. Задача: Какова вероятность появления события А при проведении серии испытаний при одних и тех же условиях? Допущения: Вероятность ожидаемого события Р(А)=р остается постоянной в каждом испытании Учитываются только два исхода: появление события А или его альтернатива Р( )=q, причем p+q=1

Формула Бернулли описывает вероятность появления Р n (k) события А в n независимых испытаниях k раз. с учетом, что имеем формула Бернулли

Краткие выводы: Т.о. нами изучены понятия теории вероятности и их использование при решении конкретных ситуационных задач Вероятность достоверного события равна 1.Р=1 2.Р=0 3.0

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная: 1. Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для мед.вузов. М.: ГЭОТАР-Медиа Дополнительная: 1. Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др., М.: ИНФРА-М Шаповалов К.А. Основы высшей математики: учебное пособие. Красноярск: Печатные технологии Математика: метод. указания к внеаудит. работе для студ. по спец. – педиатрия /сост. Л.А.Шапиро и др. Красноярск: тип.КрасГМУ Электронные ресурсы: 1. Электронная библиотека Absotheue

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ