Выполняла: Ученица 10 «б» класса Школа 353 им. А. С. Пушкина Кухаренко Ульяна.

Пушкин и Лобачевский Цель проекта История вопроса «Четыре замечательные точки треугольника» в школе За страницами учебника Заключение ПРИЛОЖЕНИЕ: «Треугольник вокруг нас». План:

( ) ( ) «Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии». А. С. Пушкин Примерно в тоже время. Но уже по другому случаю, Пушкин записывает в своей тетради: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии». Это не случайно, ведь в 1826 году, когда эти фразы были записаны, Николай Иванович Лобачевский, великий математик, уже говорил о своей воображаемой геометрии. ПУШКИН И ЛОБАЧЕВСКИЙ

Вопрос: Какая геометрическая фигура встречается в тексте «Каменного гостя»? Ответ: треугольник «И кровь нейдет из треугольной ранки…» «Треугольный» встречается 11 раз. «пирамида» встречается 10 раз (она названа – четверо угольной), «шар» 6 раз; «круг» или «окружность» 85 раз, также упоминается «квадратура круга», «параллельность».

ИСТОРИЯ ВОПРОСА Любая фигура на плоскости содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником.... Треугольник считается простейшей из фигур.

Точка пересечения медиан G – центр тяжести или барицентр. Точка пересечения биссектрис I - центр вписанной окружности или ин центр. Точка пересечения высот H – ортоцентр. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника O - центр описанной окружности.

На эти четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника» или «новой геометрии треугольника».

ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже «прямой Эйлера». Леонард Эйлер ( ) Прямая Эйлера

Окружность Эйлера Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Точка Фейербаха В 1822 году немецкий математик Карл Фейербах опубликовал одну из самых поразительных теорем геометрии треугольника: Окружность Эйлера касается вписанной и трех вневписанных окружностей Точка Фейербаха Окружность Эйлера

Точка Лемуана точка пересечения симедиан треугольника. Симедиана отрезок в треугольнике, симметричный медиане относительно биссектрисы угла, проведенной из той же вершины. Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX – XX веков: Лемуан, Брокар, Тебо и другие. Точка Лемуана

Нагель Христиан Генрих ( ) Точка Нагеля – точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями. Точка Нагеля

Прямая Симсона Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

Точка Жергонна Точка Жергона точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружностью противоположных сторон. Жергон Жозеф ( )

Пусть четыре прямые расположены так, что при их пересечении образуется четыре треугольника. Тогда описанные вокруг этих треугольников окружности имеют общую точку, которая называется точкой Микеля. Точка Микеля

Точка Ферма Точка Ферма точка треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. В треугольниках с углом более 120° совпадает с вершиной тупого угла. Построим на сторонах равносторонние треугольники и соединим вершины исходного треугольника с соответствующей свободной вершиной. Точка пересечения получившихся отрезков является точкой Ферма.

Точка Торричелли Точка Торричелли точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами не более 120° и совпадает с точкой Ферма.

Точка Аполлония Педальный треугольник, образованный основаниями перпендикуляров, опущенных из данной точки на стороны треугольника или их продолжения, которой является правильным.

Точка Шпикера Точка Шпикера – центр окружности, вписанной в серединный треугольник (образованный серединами сторон).

ПРОСТОЙ И НЕИСЧЕРПАЕМЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК