x 1 x 2 x i-1 x i x y y=f(x) A B ξiξi ξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ3ξ3 ξnξn a b f(ξ i ) Задача о площади криволинейной трапеции Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию. Площадью криволинейной трапеции является ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение определенного интеграла 6 Пусть функция y=f(x) определена на [ a, b ]. 1). Разобьем [ a, b ] на n частей точками x 1 < x 2 < … < x k

Риман Георг Фридрих Бернхард (Riemann ) Директор гимназии, обнаружив у Римана математические способности, разрешил пользоваться своей библиотекой. Но, уступая желанию отца, Риман поступил в 1846 году в Гёттингенский университет для изучения филологии и богословия. Здесь он слушает лекции Гаусса и принимает окончательное решение стать математиком. Георг Фридрих Бернхард Риман родился 17 сентября 1826 г. в семье лютеранского пастора. Наклонности к математике проявлялись у молодого Римана ещё в детстве, В 6 лет Риман под руководством отца решал арифметические задачи. Когда ему исполнилось 10 лет, с ним стал заниматься учитель, но вскоре он превзошел учителя. В возрасте 14-ти лет Риман поступил сразу в третий класс Ганноверской гимназии, через год перешел в гимназию Люнебурга. Интеграл Римана одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Теорема 9. Необходимый признак интегрируемости Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке. Следствие: если функция не ограничена на отрезке [ a, b ], то она не интегрируема на [ a, b ]. Пример. Доказать, что функция Дирихле не интегрируема на отрезке [ a, b ]. Функция Дирихле

Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (13 февраля 1805, Дюрен, 5 мая 1859, Гёттинген) немецкий математик, внес существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел 13 февраля 1805Дюрен 5 мая 1859 Гёттинген В 1827 г. он по приглашению Александра фон Гумбольдта устраивается на должность приват-доцента университета Бреслау (Вроцлав). В 1829 г. перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент, затем с 1831 г. как экстраординарный, а с 1839 г. как ординарный профессор Берлинского университета. В 1825 г. Дирихле вместе с А. Лежандром доказал теорему Ферма для частного случая n =5. Основные работы О сходимости тригонометрических рядов, служащих для представления произвольной функции в данных пределах, 1829 Доказательство утверждения о том, что любая неограниченная арифметическая прогрессия с первым членом и шагом, являющимися целыми числами и не имеющих общего делителя, содержит бесконечное число простых чисел (теорема Дирихле), 1837

Основные свойства определенного интеграла. каково бы ни было расположение точек a,b,c

6. Если функция y=f(x) интегрируема и неотрицательна на [ a, b ] и a

10. Теорема о среднем Пусть функция y=f(x) интегрируема на [ a, b ] и x [a, b] выполняется m f(x ) M, тогда 9. Если функции y=f(x) непрерывна на [ a, b ], a

Достаточные условия интегрируемости (классы интегрируемых функций) Теорема 10. Если функция y=f(x) определена и непрерывна на [ a,b ], то она интегрируема на [ a,b ]. Теорема 11. Если функция y=f(x) монотонна и ограничена на [ a,b ], то она интегрируема на [ a,b ]. Теорема 12. Если функция y=f(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода на [ a,b ], то она интегрируема на [ a,b ]. x y y=f(x) a b

Терминология Криволинейная трапеция Разбиение Интегральная сумма Сумма Римана Функция Дирихле Среднее значение функции Классы интегрируемых функций Понимать! Уметь произносить! Запомнить! Использовать!