Марина Александровна

Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само оно не приходит. Эпиграф к уроку

Случай из жизни!! Бранислав Нушич – сербский писатель-драматург

Три способа формулировки математических утверждений: 1)Словесный – понятный, но длинный, неудобный; 2)Геометрический – наглядный, но не всегда удобный для вычисления; 3)Символьный – краткий, легко запоминающийся.

КВАДРАТ СУММЫ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ ПЛЮС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Квадрат суммы (a+b) 2 =(a 2 +2ab + b 2 ) Доказательство: (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a 2 +ab+ab+b 2 = a 2 + 2ab +b 2

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть a и b положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной a+b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами a и b. Площадь квадрата со стороной a+b равна (a+b)² Этот квадрат мы разрезали на 4 части: квадрат со стороной a (его площадь a²), квадрат со стороной b (его площадь b²), 2 прямоугольника со сторонами a и b (площадь каждого прямоугольника равна ab) Значит, (a + b)² = a² + b² + 2ab

Квадрат разности КВАДРАТ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ МИНУС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ (a-b) 2 =(a 2 - 2ab + b 2 ) Доказательство: (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a·a - a·b - b·a + b·b = a 2 -ab-ab+b 2 = a 2 -2ab +b 2

Расширение знаний по формулам сокращенного умножения

(а + b + с) 2 = а 2 + b 2 + с аb + 2 ас + 2bс Геометрическое доказательство

Докажем следующие утверждения При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что (a b)² = (a + b)²; (a b)² = (a + b)²; (b a)² = (a b)². (b a)² = (a b)².

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СУММЫ ОДНОЧЛЕНОВ НА ИХ РАЗНОСТЬ a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) Доказательство: (a+b)(a-b)= a 2 -ab+ab-b 2 = a 2 -b 2

S- площадь квадрата со стороной a. По рисунку получаем S=S 1 +S 2 +2S 3 таким образом, получаем a 2 =b 2 +(a-b) 2 +2(a-b)b a 2 -b 2 =(a-b)(a-b+2b) a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) a S3 b b S1S1 a-b S2S2 b S3S3 Доказательство: Доказано a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Задача – сказка! У одного царя-батюшки было две дочки и прямоугольное царство, длина которого на 11 км больше ширины. Первой вышла замуж за соседского принца младшая дочка и получила в приданое квадратную часть со стороной равной ширине царства, которое было изначально у батюшки. Старшей дочери, когда она наконец уговорила Иванушку, ее батюшка - царь выделил площадь в 50 км 2. Вычислите площадь царства, которое было до замужества всех дочерей у царя, если жилплощадь, которая осталась у царя-батюшки равна 49 км 2.

abS Было царство X+11xX*(x+11) Мл. дочьX*x Ст. дочь 50 Осталось 49

Некоторые математические фокусы Отметим, что на формулах квадрата суммы и квадрата разности основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9. 71² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = = ² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = = 5041 Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5: 85² = (80 + 5)² = 80² + 2·80·5 + 5² = 80·( ) + 25 = = 80· = = ² = (80 + 5)² = 80² + 2·80·5 + 5² = 80·( ) + 25 = = 80· = = 7225

a 2 = а 2 – b 2 + b 2 = (a – b)(a + b) + b 2, где b – дополнение числа а до круглого числа. Пример. Вычислите Круглое число 100. а = 94, b = 6, а + b = 100, a – b = = = (94-6)*(94+6)+36=88*100+36=8836.

Вычислите: 1)95 2 2)195 2

Быстрый счёт =(29-28)(29+28)=1·57= =(73+63)(73-63)=136·10= =( )( )= -1·267= Но и в формуле разности квадратов есть свои фокусы

«Устный счет» Николая Богданова – Бельского

Главный герой картины

Задача из второй книги «Начал» Евклида Доказать, что:

Домашнее задание 1. Вычислите: а) ; б) Найти три последовательных натуральных чисел таких, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа. 3.

Я считаю себя отличным хозяином. Все, что касается домашних дел, я решаю сам. Вот и вчера я купил напольное покрытие, длина которого была на 1,6 метра больше его ширины. При укладке пришлось отрезать вдоль и поперек покрытия полосы шириной 20 см (0,2 м), в результате чего его площадь сократилась на 1,2 м 2. Найдите площадь комнаты, которой я любуюсь вот уже второй день? (Примечание: покрытие легло ровно на всю поверхность пола.)

Спасибо за урок!!! «Мышление надо упражнять, надо ежедневно снова и снова размышлять, чтобы сохранить жизнь мысли» И.Бехер