Лекция 16 ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ

1. Введение в динамику сооружений Колебание одно из наиболее распространенных форм движения. Колеблются ветви деревьев, вагоны на рессорах при движении, вода и предметы на ней. Колеблются здания и сооружения от ветра, землетрясения, от работы различных машин и механизмов. При колебаниях сооружения величины и знаки внутренних усилий (напряжений) непрерывно меняются, что может привести к быстрому разрушению отдельных элементов, частей или всего сооружения. Динамика сооружений изучает механические колебания сооружений. Как теоретическая наука, она разрабатывает различные методы и алгоритмы расчета сооружений на динамические воздействия. В то же время она является прикладной наукой и решает конкретные задачи. Среди решаемых динамикой сооружений задач самыми важными являются четыре задачи динамики: 1) определение частот и форм собственных колебаний; 2) проверка на резонанс; 3) проверка динамической прочности; 4) проверка динамической жесткости. Решение задач динамики намного сложнее решения задач статики, т.к. надо учитывать дополнительный фактор – время.

При расчете на колебания сооружение рассматривается как колебательная система. Колебательные системы делятся на два типа: диссипативная система – это система, у которой происходит диссипация (рассеивание) энергии; консервативная система, где рассеиванием энергии пренебрегают. Простейшей моделью консервативной системы является система из пружины и массы. Жесткость пружины r характеризует упругость системы, а масса m – ее инерционные свойства. Простейшей моделью диссипативной системы является система из пружины, вязкого элемента и массы. Сила сопротивления c, возникающая в вязком элементе, стремится остановить колебания системы. Такой элемент называют демпфером (или амортизатором). Поэтому диссипативную систему часто называют демпфированной системой.

2. Степень свободы и расчетная модель Степень свободы в динамике это направление возможного независимого перемещения массы. В отличие от степени свободы в кинематическом анализе, здесь учитываются и деформации элементов. Число динамических степеней свободы – это минимальное число параметров, необходимых для определения положения всех масс системы. Если рассматривать сооружение как систему из бесконечного числа элементарных масс, получим систему с бесконечным числом динамических степеней свободы. Расчет колебаний даже простейших систем (балок, плит и др.) по такой континуальной модели является непростой задачей. Поэтому в динамике сооружений расчетная модель часто выбирается в виде дискретной системы с сосредоточенными массами. Массы сооружения можно дискретизировать по-разному. Иногда, сосредоточив распределенную массу сооружения только в нескольких точках, можно достаточно точно рассчитать простейшие колебания.

Массу сооружения обычно сосредотачивают в характерных точках, где действуют наибольшие нагрузки. Если положение таких точек установить трудно, места и величины сосредоточенных масс могут быть найдены из условия равенства энергии всей системы и энергии ее дискретной модели. Сосредоточенные массы, определенные таким способом, называются приведенными массами. Большие массы, сосредоточенные на сооружении (грузы, различные машины, станки, оборудование и др.) рассматриваются как кусковые массы. Приведенные и кусковые массы плоской системы имеют три степени свободы: они могут совершать колебания в двух независимых взаимно-перпендикулярных направлениях и вращаться относительно центра массы. Если вращение (крутильное колебание) массы не учитывать, получим точечную массу. Число степеней свободы точечной массы равно двум. Рассмотрим примеры.

Если массу балки сосредоточить в трех точках, положение масс m 1, m 2, m 3 будут определять три параметра y 1, y 2, y 3. Поэтому у этой системы W дин =3. 1) Шарнирно-опертая балка Она состоит из бесконечного числа элементарных масс dm, положение которых определяют бесконечное число перемещений y(x). Поэтому W дин =. Если массу балки сосредоточить в одной точке, положение точечной массы m будет определять один параметр – перемещение y m. Тогда W дин =1.

Ее нельзя рассматривать как динамическую систему с одной степенью свободы, т.к. это приводит к неточным результатам. Поэтому ее следует рассматривать как систему с достаточно большим числом степеней свободы и принять W дин =n. 2) Водонапорная башня и одноэтажная рама 3) Дымовая труба У них основные массы расположены наверху. Поэтому их можно рас- сматривать как колебательные системы с одной массой и одной степенью свободы, т.е. принять W дин =1.

3. Основные виды и характеристики колебаний В колебательной системе происходит периодический переход одного вида энергии в другой (потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию и наоборот). Наглядное представление колебательного процесса можно получить, если построить график колебаний отдельной массы в координатах t (время) и y (перемещение). Когда в колебательную систему поступает внешняя энергия, колебания будут нарастающими. Если к консервативной системе внешняя энергия не поступает, ее колебания будут незатухающими. Если энергия системы уменьшается (например, за счет трения), колебания будут затухающими. нарастающие колебания незатухающие колебания затухающие колебания

Важной характеристикой колебательного процесса является форма колебаний. Форма колебаний – это кривая, показывающая положение точек колебательной системы относительно положения равновесия в фиксированный момент времени. Простейшие формы колебаний можно наблюдать. Например, хорошо видны формы колебаний провода, висящего между двумя столбами или струны гитары. Свободные колебания это колебания, происходящие при отсутствии внешней нагрузки. Свободные колебания диссипативной системы являются затухающими. Свободные колебания консервативной системы являются незатухающими. Так как в природе консервативных систем не существует, то их колебания изучаются только теоретически. Свободные колебания консервативных систем называются собственными колебаниями.

Периодические колебания – это колебания, удовлетворяющие условию y(t)=y(t+T). Здесь T – период колебаний (время одного колебания). Периодические колебания имеют и другие важные характеристики: амплитуда a – это половина размаха колебания. круговая частота – число колебаний за 2 секунды, техническая частота f – число колебаний за одну секунду. Обе эти частоты и период взаимосвязаны: (Гц), (рад/с). Гармонические колебания – это колебания, изменяющиеся по закону или Здесь – фаза колебаний, – начальная фаза. Вынужденные колебания происходят при действии внешних сил. Вибрация – это вынужденные колебания, происходящие с относительно малой амплитудой и не слишком низкой частотой.

4. Виды динамических нагрузок Колебания возникают от динамических нагрузок. В отличие от статических, динамические нагрузки изменяются с течением времени по величине, направлению или положению. Они сообщают массам системы ускорения, вызывают инерционные силы, что может привести к резкому возрастанию колебаний, и в итоге – к ее разрушению. Периодические нагрузки – это нагрузки, прикладываемые через период. Источниками периодических нагрузок являются машины и механизмы: электродвигатели, металлообрабатывающие станки, вентиляторы, центрифуги и др. При равномерном вращении их неуравновешенных частей возникают гармонические нагрузки, называемые вибрационными нагрузками. Поршневые компрессоры и насосы, штамповочные машины, дробилки, копры и др. создают негармоническую нагрузку. Импульсные нагрузки создаются взрывом, падающими грузами или частями силовых установок (молотов, копров и др.). Подвижные нагрузки вызывают железнодорожные составы, автомобильный транспорт и др. Очень опасными являются недетерминированные (случайные) нагрузки. Это – ветровые, сейсмические, взрывные нагрузки.

5. Колебания систем с одной степенью свободы Изучим колебания невесомой балки с точечной массой m под действием динамической нагрузки : Уравнение колебаний массы определяется из условия динамического равновесия сил, действующих на нее: J + R + R* – P= 0, где – инерционная сила; R – сила упругости балки; R* – сила сопротивления среды движению массы. При колебаниях эта динамическая система движется. Поэтому данное уравнение называется уравнением движения. Силу упругости R в этом уравнении можно определить двумя способами.

1) Использование метода перемещений Для этого в правом конце балки введем опору и дадим ей перемещение y, возникающее при колебании массы: Перемещение y определим рассматривая единичное состояние по методу перемещений. Тогда R=ry, где r жесткость. Получим: уравнение колебаний в форме МП. 2) Использование метода сил Для этого к концу балки приложим единичную силу и определим податливость : По теореме Бетти. Значит, r=1/. Если подставить его в первое уравнение, поделить уравнение на m и ввести обозначение, получим: уравнение колебаний в форме МС.

6. Собственные колебания Собственные колебания возникнут при P=0, R*=0. Уравнение колебаний примет вид: Его общее решение: y=A sin t + B cos t. Сделаем замены A=a cos, B=a sin. Тогда получим y=a sin( t+ ). Таким образом, собственные колебания являются гармоническими. Определим начальную фазу φ и амплитуду a этих колебаний. Пусть при t=0 известны начальное отклонение y 0 и начальная скорость v 0. Тогда Из них определяются

Если вес массы равен G, а ускорение свободного падения g, то G=mg. К тому же, вес G вызывает статический прогиб, определяемый по формуле y ст =G. Тогда имеем Они позволяют найти частоту из решения статической задачи. Из полученных формул вытекают следующие выводы: 1) начальная фаза и амплитуда зависят от начальных условий; 2) частота и период собственных колебаний системы не зависят от начальных условий; 3) при увеличении жесткости системы частота собственных колебаний возрастает, а при увеличении массы – уменьшается.