"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет". Леонардо да Винчи

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. A B C

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома 2: a A B

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Аксиома 3:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. М a

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. a b М

Две прямые лежат в одной плоскости 2. Прямые пересекаются 1. Прямые параллельны Одна общая точка Нет общих точекl p lpII n m nm

Не лежат в одной плоскости: являются скрещивающимисяb a b a

1. Прямая лежит в плоскости 2. Прямая пересекает плоскость Бесконечно много общих точек Одна общая точкаa b К

3. Прямая параллельна плоскости. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Нет общих точек Признак параллельности прямой и плоскости:с

По трем точкам (аксиома 1) По прямой и не лежащей на ней точке (следствие 1) По двум пересекающимся прямым (следствие 2) По двум параллельным прямым (по определению параллельных прямых)

а b Свойство параллельных плоскостей Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

А В А А В С Нет точек пересечения Одна точка пересечения Пересечением является отрезок Пересечением является плоскость

Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью

Используя полученные знания, применим их к построению сечений многогранников на основе аксиоматики.

1. Построить сечение, определенное точками K, L, M. K M L 1. Прямая КМ 2. Прямая МL 3. Прямая КL КМL – искомое сечение А В Р (аксиома 1)

2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА 1 и CC 1. А А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 С В D 1. Прямая А 1 С 1 2. Прямая АС АА 1 С 1 С - сечение

3. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС 1 и А 1 С. А А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 D В С 1. Прямые А 1 С 1 и АС 2. Прямые АА 1 и СС 1 АА 1 С 1 С - сечение (следствие 2)

4. Построить сечение по прямой BC и точке М. А В С Р М 1. Прямая ВС 2. Прямая СМ ВСМ - сечение 3. Прямая ВМ (следствие 1)

А А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 D В С 5. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС. К М 1. Прямая СМ 2. Прямая МК AC 3. Прямая AK AKМС - сечение

1. МN 2. МN АС=О 3.ОР, ОР АВ=К 4. NP 5. МК МNPK – искомое сечение А В С D M N P О К 6. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P, лежащие на ребрах AD, DC, BC соответственно.

М Р 7. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, М, К. К А 1. Прямая МКВ 2. Прямая КР О Т 3. Прямая ОТ МАВРС - сечение С

M N P M N P M N P M N P M N P M N P

M N P M N P M N P Решения варианта 1. Решения варианта 2. M N P M N P M N P