1. Какие из чисел 3; –2; 2 являются корнями следующих уравнений: а) 3 х = –6; г) 4 х – 4 = х + 5; б) 3 х + 2 = 10 – х;д) 10 х = 5(2 х + 3); в) х + 3 = 6;е) 10 + х = 13?

2. Являются ли уравнения равносильными? Если да, то сформулируйте, по какому свойству уравнений. а) 3 х + 4 = 2 и 3 х = –2; б) –3 х х = 4 и 2 х + 12 = 3 х + 4; в) 3 х + 15 = 0 и 3 х = 15; г) 0,5 х = 0,08 и 50 х = 8; д) 120 х = –10 и 12 х = 1; е) x = 11 и 3 х = 44.

Для чисел, обозначенных цифрами Для чисел, обозначенных буквами Словесная формулировка = = – 2 = 7 – 2 а = b a + l = b + l a – l = b – l l – любое число Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число, то получится верное равенство = · 3 = 27 · 3 27 : 3 = 27 : а = b a · m = b · m a : m = b : m m 0 Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится верное равенство

Рассмотрим уравнение 9 х – 23 = 5 х – 11. Применим известные свойства уравнений и получим равносильные уравнения: 9 х – 5 х = – ; 4 х = 12; х = 3. Уравнение, равносильное исходному, имеет единственный корень 3, значит, исходное уравнение также имеет единственный корень 3. Используя свойства уравнений, многие из них всегда можно привести к виду ax = b, где х – переменная, а a и b – некоторые числа. Уравнения такого вида называются линейными.

Задание. Привести уравнение к линейному виду, используя свойства уравнений: а) 3 х – 11 = 5 х + 7; б) 2 (х + 1) = 2 х + 2; в) –8 х + 11 = 8 (3 – х). Решение: а) 3 х – 11 = 5 х + 7; б) 2 (х + 1) = 2 х + 2; в) –8 х + 11 = 8 (3 – х); 3 х – 5 х = ; 2 х + 2 = 2 х + 2; –8 х + 11 = 24 – 8 х; –2 х = х – 2 х = 2 – 2; –8 х + 8 х = 24 – 11; 0 · х = 0. 0 · х = 13. Чему равны коэффициенты a и b и сколько корней имеет уравнение?

Задание. Привести уравнение к линейному виду, используя свойства уравнений: а) 3 х – 11 = 5 х + 7; б) 2 (х + 1) = 2 х + 2; в) –8 х + 11 = 8 (3 – х). Решение: а) 3 х – 11 = 5 х + 7; б) 2 (х + 1) = 2 х + 2; в) –8 х + 11 = 8 (3 – х); 3 х – 5 х = ; 2 х + 2 = 2 х + 2; –8 х + 11 = 24 – 8 х; –2 х = х – 2 х = 2 – 2; –8 х + 8 х = 24 – 11; 0 · х = 0. 0 · х = 13. Чему равны коэффициенты a и b и сколько корней имеет уравнение? а) a = –2; b = 18 – один корень х = –9, определили, разделив обе части на (–2). б) a = 0; b = 0 – бесконечно много корней, так как равенство 0 · х = 0 верно при любом значении х. в) a = 0; b = 13 – нет корней, так как равенство 0 · х = 13 неверно ни при каком значении х.

Линейное уравнение ax = b, где х – переменная, a, b – любое число. Если a 0, то x = ; если а = 0 и b = 0, то х – любое; если а = 0 и b 0, то нет корней.

Анализируя решенные примеры, приходим к выводу, что решение многих уравнений сводится к решению линейных. Алгоритм: 1-й шаг. Если выражения, стоящие в левой или правой части уравнения, содержат скобки, то раскрываем их по правилам. 2-й шаг. Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а без переменных в правую. 3-й шаг. Приводим подобные слагаемые в обеих частях уравнения, приводя его к виду ax = b. 4-й шаг. Решаем получившееся линейное уравнение, равносильное исходному, в зависимости от значений коэффициентов a и b.

1. (Устно.) Назовите коэффициенты a и b линейного уравнения ax = b. Сколько корней имеет уравнение: а) 3 х = 12;в) 1 x = –14;д) 0 х = 0; б) –3 х = 18;г) 0 x = ;е) –18 х = –2?

2. Решите уравнение. а) –8 х = 24;г) –3x = ;ж) –6 = x; б) 50 х = –5;д) –x = –1 ; з) ; в) –18 х = 1;е) = –5x; и) –0,81 х = 72,9.

3. Определите значение х, при котором значение выражения –3 х равно: а) 0; б) 6; в) –12; г) ; д) ; е) 2.

3. (Устно.) На доске было записано решение линейного уравнения, но правую часть данного уравнения стерли. Восстановите ее:

4. При каких значениях а уравнение ах = 8: а) имеет корень, равный – 4; ; 0; б) не имеет корней; в) имеет отрицательный корень?

– Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры. – В каком случае уравнение ax = b имеет единственный корень? Бесконечно много корней? Не имеет корней? – Сформулируйте алгоритм решения уравнения, сводящегося к линейному.