ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ Лекции 7

Тензор диэлектрической проницаемости однородной магнитоактивной плазмы

Е о =0, V o =0 f α0 = f α0 (V II, V ) Е, V, В, f α1 можно представить в виде разложения по плоским волнам: exp{i(ωt kr)} В силу линейности уравнений (i,j = 1, 2,3) Тензор σ ij α (ω,k) называется тензором проводимости.

D - электрическая индукция Для монохроматической волны малой амплитуды D i = ε ij (ω,k)E j ε ij (ω,k) – тензор диэлектрической проницаемости плазмы δ ij – единичный тензор Показатель преломления - N = ck/ω (*)

Уравнение (*) определяет собственные векторы, описывающие собственные колебания плазмы. Условие разрешимости однородной системы линейных алгебраических уравнений (*) для E j представляет собой дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в анизотропной среде Если решается задача о распространении волн определённой частоты, то (**) определяет k(ω). Если решается задача о собственных колебаниях плазменной системы, то k считается заданным и (**) определяет ω(k). (**) ω = Reω + iImω, Re ω = ω r - частота колебаний, Imω = γ - декремент затухания (нарастания) волны. При ω>>γ вывод о наличии поглощающих свойств среды можно сделать без решения дисперсионного уравнения, используя общий вид тензора ε ij.

Энергия почти периодической волны, поглощаемой в единицу времени средой поглощающие (или излучающие) свойства среды определяются видом антиэрмитовой части тензора диэлектрической проницаемости В слабо поглощающей среде ImΛ

Приближённое решение уравнения можно искать в виде ω = ω r + iγ, где ω r - вещественные корни уравнения ReΛ(ω r,k) = 0 ωr ωωr ω

Для монохроматической волны k = (k,0,k II ) f α1 (φ + 2π) = f α1 (φ) Замена переменной φ = φ – τ

Множитель перед экспонентой в подынтегральном выражении содержит сумму... cos(φ - τ) +... sin(φ - τ) и является периодической функцией φ, поэтому для того, чтобы f α1, было периодической по φ, достаточно, чтобы пределы интегрирования не зависели от с, т.е. c.

- функция Бесселя

- черенковский резонанс, - циклотронный резонанс. При n>0 имеет место нормальный доплер-эффект, при n

Тензор диэлектрической проницаемости однородной магнитоактивной плазмы

В соответствии с правилом Ландау интегрирование проводится от до с обходом особых точек снизу при и сверху при. При этом удобно использовать символическую запись

- интеграл вероятности

Определитель является довольно сложной функцией частоты и волнового вектора. Поэтому число собственных решений – ветвей колебаний – может быть бесконечно большим. Однако, подавляющее большинство ветвей колебаний являются сильно затухающими. Число типов слабозатухающих колебаний ограничено, что позволяет рассматривать отдельные ветви собственных колебаний.

Затухание волн в плазме (задача Ландау) Пусть при t=0 создано начальное возмущение g(V,x). (*) Затухание при столкновениях: Рассмотрим бесстолкновительное затухание при

Применим преобразование Лапласа:

Так как интегрирование проводится по всем, строго говоря, определённой связи с k не существует. Однако, если g(V) не имеет особенностей, то асимптотика при больших t будет определяться нулями (k, ), и f k (t) и k (t) будут пропорциональны exp(i k t), где k определяется дисперсионным уравнением (*), причём (k, ) в подынтегральном выражении есть заданная в верхней полуплоскости функция комплексной переменной. Это означает, что вблизи действительной оси надо заменить +i, где >0.

Для

Линейное затухание Ландау существенно только для волн малой амплитуды с Размешивание частиц по фазовой плоскости. волна постоянной амплитуды

Волны Ван-Кампена

Колебания и волны в горячей магнитоактивной плазме При T e >>T i и > Bi существует ветвь коротковолновых (kr Bi >>1) высокочастотных электронно- звуковых колебаний, являющихся продолжением в область коротких волн (kr Bi 1) альфвеновской ветви.

Циклотронные волны или моды Бернштейна