Ребята, мы продолжаем изучать логарифмы, и все что с ними связано. На сегодняшнем занятии мы рассмотрим, какими свойствами обладают операции над логарифмами. Давайте договоримся, что любое свойство рассматривается только для положительного числа стоящего под знаком логарифма. Два свойства логарифма мы уже знаем из его определения, давайте повторим:

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: Доказать нашу теорему довольно таки просто, давайте это и сделаем. Пусть То есть нам надо доказать: х=y+z Что и требовалось доказать!

Примеры: Теорема работает и в случае если число под знаком логарифма можно представить в виде произведения более двух чисел..

Теорема 2. Пусть a,b,c – положительные числа и а 1, тогда справедлива следующая формула: Докажем теорему кратко, с помощью таблицы. Что и требовалось доказать!

Теорема 3. Пусть a и b положительные числа (а 1), то для любого числа r справедливо равенство: Докажем теорему кратко, с помощью таблицы. Примеры: Что и требовалось доказать!

Пример. Положительные числа x,y,z,t – связаны соотношением: Выразить через логарифм по основанию а чисел y,z,t. Решение. Последовательно используя теоремы выше, найдем решение: Ответ: по теореме 2 по теореме 1 (по теореме 3)

Зачастую о знаке числа стоящего под логарифмом ничего неизвестно, но мы с вами договорились рассматривать только положительные числа, как, же нам быть в таком случае: - верна ли эта запись? Очевидно, если x0 то нет. Для того, чтобы быть уверенным в правильности ответа необходимо использовать модуль, тогда верное выражение примет такой вид: В общем случае формула будет выглядеть так: В указанных выше теоремах, произведение и частное чисел b и c может быть больше нуля, но произведение и частное двух отрицательных чисел, равно положительному число, так вот если о знаке чисел b и c мы ничего не знаем, то так, же следует писать модуль.

Теорема 4. Равенство выполняется тогда и только тогда когда b=c. В справедливости теоремы легко убедиться по графику логарифма и его монотонности. Пример. Известно: Выразить x через y,t,z. Решение. Рассмотрим правую часть: Исходное равенство тогда выглядит: Ответ:

Пример. Известно, что Вычислить Решение. Нам надо выразить число 7,2 через числа 6(основание логарифма) и 5 (дано в условии) Ответ:

Пример. Вычислите: Решение. Посмотрим внимательно на выражение в степени: Вернемся к исходному выражению: Применим свойство: Ответ:

Рассмотрим подробнее десятичные логарифмы. Любое положительное число а может быть записано в виде: Давайте найдем десятичный логарифм числа а. Десятичный логарифм возрастающая функция тогда: Тогда любой десятичный логарифм мы можем представить в виде суммы целого числа n и числа которое, больше либо равно нуля, но меньше единицы. Число n – называется характеристикой десятичного логарифма, это наибольшее целое число не превосходящее lg(a). Число - называется мантиссой десятичного логарифма.

Свойство, которое мы получили выше, хорошо помогает при вычислении десятичных логарифмов, достаточно знать значения десятичных логарифмов от первых девяти цифр от 1 до 9 и с помощью их вычислять все остальные логарифмы. Примеры: Известно что lg ( 8 ) Найдем lg(80); lg(800); lg(800000); lg(0.08)

Задачи для самостоятельного решения. 1. Положительные числа x,y,z,t – связаны соотношением: Выразить через логарифм по основанию а чисел y,z,t. 2. Известно: Выразить x через y,t,z. 3. Известно, что Вычислить 4. Вычислите: