Способы решения задач с процентами Выполнила Антонова Екатерина ученица 11 класса МОУ «Лицей 3 им. П.А. Столыпина г.Ртищево Саратовской области» Руководитель Мрыхина М. В учитель математики 2014 год

Процент. История происхождения. Существует две версии происхождения знака %. Одна из версий, это ошибка наборщика, который, набирая в 1985 году в Париже книгу под названием «Руководство по коммерческой арифметике» по ошибке вместо слова «cto» поставил знак %. По второй версии, знак % это упрощение буквы t в слове cto, которым ранее обозначали проценты. Проце́нт (лат. per cent на сотню) одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.

Виды задач с процентами Нахождение процентов от числа. Нахождение процентов от числа. Нахождение числа по его процентам. Нахождение числа по его процентам. Процентное отношение двух чисел. Процентное отношение двух чисел. Задачи с начислением процента на процент. Сложные проценты Задачи с начислением процента на процент. Сложные проценты

Нахождение процентов от числа. Пусть задано число A 2. Надо вычислить число A 1, составляющее заданный процент P от A 2. A 1 = A 2 * P / 100. Пример. Найти 25% от * 25 / 100 = * 25 / 100 = 30. Ответ: 30

Нахождение числа по его процентам. В магазин привезли овощи. В первый день продали 35 % и еще 240 кг, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин? Пример. В магазин привезли овощи. В первый день продали 35 % и еще 240 кг, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин? 1) 100 – 35 = 65% 2) = 780(кг) 3) 780/65*100=1200(кг) Ответ кг. Чтобы найти число А1, если известен процент от этого числа Р, нужно разделить данное число А2 на количество процентов, его составляющих, и результат умножить на 100. А1 = А2/Р*100

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение: 1) =40 (кг) масса всего сплава. 2) 34/40 * 100% = 85% сплава составляет медь. Ответ. 85%. Пусть задано два числа: A1 и A2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A1 от A2. P = A1 / A2 * 100. Процентное отношение двух чисел.

Сложные проценты Если имеется некоторая величина А 0, которая увеличивается на р% за некоторый промежуток времени, затем ее новое значение опять увеличивается на р%, при этом процесс содержит n этапов, то A n вычисляется по формуле сложных процентов. Если процентная ставка дана для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так: A n = А 0 * ( 1 + P/100 ) n.

Задача на сложные проценты. Пример. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какую сумму он получит в конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом? Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада. Разница составляет 4102,09 доллара. Разница составляет 4102,09 доллара.

Некоторые задачи на проценты удобно решать, составляя таблицы. Пример. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный – 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных? Решение. Составим таблицу: 1 часть задачи: Вещество Масса вещества (кг) Процентное содержание воды Процентное содержание сухого вещества Масса сухого вещества (кг) Свежий гриб 1790%10%17 х 0,1 = 1.7 Сушеный гриб х 15%85%0,85 х Так как масса сухого вещества в сухих и свежих грибах остается неизменной, получим уравнение: 0,85 х = 1,7 х = 1,7 / 0,85 х = 2. 2 часть задачи: Вещество Масса вещества (кг) Процентное содержание воды Процентное содержание сухого вещества Масса сухого вещества (кг) Свежий гриб х 90%10%0,1 х Сушеный гриб 3.415%85%3,4 ?0,85 = 2,89 0,1 х=2,89 х=2,89/0,1 х = Ответ: из 17 кг свежих грибов получится 2 кг сушеных; чтобы получить 3,4 кг сушеных грибов, надо взять 28,9 кг свежих.

Пример. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Решение:. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х рублей. К вечеру понедельника они подорожали на р% и стали стоить х(1 + р/100). Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на р% по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу: По условию, акции в итоге подешевели на 9%, значит стали стоить Получаем, что Поделим обе части уравнения на х и применим в левой части формулу сокращенного умножения: Поделим обе части уравнения на х и применим в левой части формулу сокращенного умножения: По смыслу задачи р > 0. Получаем, что р = 30. Акции компании в понедельник подорожали на 30%. Ответ: подорожали на 30%

Список литературы Ресурсы сети Интернет: Ресурсы сети Интернет: