Математическое моделирование ( дополнительные главы математики )

Литература 1. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование : Идеи. Методы. Примеры.– М.: Наука, Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

Немного истории от манипуляции предметами к манипуляциям понятиями о предметах замена изучаемого объекта, процесса или явления более простым и доступным для исследования эквивалентом невозможность учесть всю совокупность факторов, определяющих свойства и поведение объекта

Примеры моделей Архитектура – эскиз, макет здания Медицина – плакат с нарисованными сосудами Авиация – уменьшенная копия самолета Электротехника – схема электрической цепи

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый ( абстрактный ) объект, который в процессе изучения замещает объект - оригинал, сохраняя важные для данного исследования типичные черты оригинала Определение модели

Роль моделей Здание – некрасивое, непрочное или не вписывается в окружающий пейзаж Демонстрация систем кровообращения на натуре негуманна Напряжения, например в крыльях, могут оказаться слишком велики Собирать электрические цепи для измерений неэкономично

Связь модели с оригиналом Создание модели предполагает сохранение каких - то свойств оригинала, причем в разных моделях эти свойства могут быть разными. Здание из картона много меньше настоящего, но позволяет судить о его внешнем виде ; плакат делает понятной систему кровообращения, хотя ничего общего не имеет с органами и тканями ; макет самолета не летает, но напряжения в его корпусе соответствуют условиям полета.

Для чего нужны модели ? Вместо изучения свойств объекта - оригинала исследуют аналогичные свойства модели, предполагая, что в результате такого изучения будут получены новые знания об объекте - оригинале

Почему используют модели ? 1.Модель доступнее для исследования, чем реальный объект, 2.Исследовать модель проще и дешевле, чем реальные объекты, 3.некоторые объекты невозможно изучать непосредственно : пока невозможно, например, построить устройство для термоядерного синтеза или провести эксперименты в недрах звезд, 4.невозможны эксперименты с прошлым, недопустимы эксперименты с экономикой или социальные эксперименты

Назначение моделей 1.С помощью модели можно выявить наиболее существенные факторы, формирующие свойства объекта. Поскольку модель отражает только некоторые характеристики объекта - оригинала, то, варьируя набор этих характеристик в составе модели, можно определить степень влияния тех или иных факторов на адекватность поведения модели

2.Модель позволяет научиться управлять объектом, апробируя разные варианты управления на модели объекта Назначение моделей

Модель нужна : 1.Для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект : какова его структура, свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром. 2.Для того, чтобы научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях. 3.Для того, чтобы прогнозировать поведение объекта и оценить последствия различных способов и форм воздействия на объект ( метеорологические модели, модели развития биосферы ).

Свойство правильной модели Правильно построенная, хорошая модель обладает замечательным свойством : ее изучение позволяет получить новые знания об объекте - оригинале, несмотря на то, что при создании модели использовались только некоторые основные характеристики оригинала

Приемы моделирования объединены в две группы : материальное ( предметное ) и идеальное

Материальное моделирование Модель воспроизводит основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта, когда реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях с последующим перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия ( планетарий, модели зданий и аппаратов и т. д.). Процесс исследования в таком случае тесно связан с материальным воздействием на модель, т. е. состоит в натурном эксперименте. Таким образом, материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом.

Идеальное моделирование Основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на умозрительной, идеальной. Идеальное моделирование носит теоретический характер

Типы идеального моделирования Интуитивное – моделирование объектов, не поддающихся формализации или не нуждающихся в ней. Жизненный опыт человека можно считать его интуитивной моделью окружающего мира Знаковое – моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования разного вида : схемы, графики, чертежи, формулы и т. д. и содержащее совокупность законов, по которым можно оперировать с элементами модели

Математическое моделирование исследование объекта осуществляют на основе модели, сформулированной на языке математики и исследуемой с помощью тех или иных математических методов Математическое моделирование – это область науки, занимающаяся моделированием явлений природы, техники, экономической и общественной жизни с помощью математического аппарата и, в настоящее время, реализующая эти модели с помощью ЭВМ

Классификация мат. моделей По назначению : дескриптивные оптимизационные имитационные По характеру уравнений : линейные нелинейные По учету изменения системы во времени : динамические статические По свойству области определения аргументов : непрерывные дискретные По характеру процесса : детерминированные стохастические