Теплоемкость идеального газа Изопроцессы

Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа Средняя энергия одной молекулы Т.к. молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействую, внутренняя энергия газа равна сумме внутренних энергий всех молекул Для 1 моля, где N=N A Внутренняя энергия произвольной массы m Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры

Теплоемкость Теплоёмкость тела величина, равная количеству теплоты, которую надо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1 градус для нагревания этого тела на один градус: если m=1 кг

Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью С μ количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус: С μ = с· μ Удельная теплоёмкость (с) – количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на один градус. [с] = Молярные теплоемкости всех газов с одинаковым числом степеней свободы i равны, а удельные – различны (т.к. разные молярные массы μ )

Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании. Наибольший интерес представляет теплоемкость для случаев, когда нагревание происходит при условии (c V ) V=Const (c V ) (c p ) p=Const (c p ).

Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Работы над другими телами не совершается. (c V ) V=Const (c V ) dQ V = dU (da = 0) Т.к. для 1 моля Т.о. C V не зависит от температуры, а зависит только от числа степеней свободы i равны, т.е. от числа атомов в молекуле газа.

Если нагревать газ при постоянном давлении (С Р ) в сосуде с поршнем, то подводимое тепло затрачивается и на нагревание газа, и на совершение работы. (c p ) p=Const (c p ) С Р > С V Следовательно, С Р > С V Поэтому, для повышения Т на 1 К понадобится больше тепла, чем в случае V=Const

Запишем I начало ТД для 1 моля газа разделим на dT CVCV pV μ =RT V μ =RT/p Т.о. работа, которую совершает 1 моль идеального газа при повышении температуры на 1К равна газовой постоянной R. Из основного уравнения МКТ имеем: отношение C p /C v есть постоянная для каждого газа величина

Число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости зависит от температуры. Результаты МКТ верны для определенных температурных интервалов, причем каждому интервалу соответствует свое число степеней свободы. Рис. качественная зависимость молярной теплоемкости С V от температуры для аргона (Ar) и водорода (H 2 )

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам Изопроцесс – процесс, проходящий при постоянном значении одного из основных термодинамических параметров – P, V или Т. 1)изохорический процесс, при котором объем системы остается постоянным (V = const). 2) изобарический процесс, при котором давление, оказываемое со стороны системы на окружающие тела, остается постоянным (р = const). 3)изотермический процесс, при котором температура системы остается постоянной (Т = const). 4)адиабатический процесс, при котором на протяжении всего процесса теплообмен с окружающей средой отсутствует (dQ = 0; Q = 0)

Изотермический процесс – процесс, происходящий в физической системе при постоянной температуре (T = const). В идеальном газе при изотермическом процессе произведение давления на объем постоянно – закон Бойля Мариотта: Найдем работу газа при изотермическом процессе :

Используя формулу U = с V T, получаем dU = с V dT = 0 Следовательно, внутренняя энергия газа при изотермическом процессе не меняется. Поэтому Значит, при изотермическом процессе вся теплота, сообщаемая газу, идет на совершение им работы над внешними телами. Поэтому Чтобы при расширении газа его температура не понижалась, к газу необходимо подводить количество теплоты, равное его работе над внешними телами. Используя формулу U = с V T, получаем dU = с V dT = 0 Следовательно, внутренняя энергия газа при изотермическом процессе не меняется. Поэтому Значит, при изотермическом процессе вся теплота, сообщаемая газу, идет на совершение им работы над внешними телами. Поэтому Чтобы при расширении газа его температура не понижалась, к газу необходимо подводить количество теплоты, равное его работе над внешними телами.

Изохорический процесс – процесс, происходящий в физической системе при постоянном объеме (V = const). - закон Шарля При изохорическом процессе механическая работа газом не совершается.

Изохорический процесс: V = const Из уравнения состояния идеального газа для двух температур T 1 и T 2 следует откуда В процессе 1 2 происходит нагревание газа В процессе 1 3 происходит охлаждение газа Изохорический процесс: V = const Из уравнения состояния идеального газа для двух температур T 1 и T 2 следует откуда В процессе 1 2 происходит нагревание газа В процессе 1 3 происходит охлаждение газа

Пусть начальное состояние газа отвечает состоянию при нормальных условиях Т 0 = 0°С = °К, р 0 = 1 атм, тогда для произвольной температуры Т давление в изохорическом процессе находится из уравнения Давление газа пропорционально его температуре - Закон Шарля Поскольку dA = pdV = 0, то при изохорическом процессе газ не совершает работу над внешними телами. При этом переданная газу теплота равна dQ = da + dU = dU То есть при изохорическом процессе вся теплота, передаваемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Пусть начальное состояние газа отвечает состоянию при нормальных условиях Т 0 = 0°С = °К, р 0 = 1 атм, тогда для произвольной температуры Т давление в изохорическом процессе находится из уравнения Давление газа пропорционально его температуре - Закон Шарля Поскольку dA = pdV = 0, то при изохорическом процессе газ не совершает работу над внешними телами. При этом переданная газу теплота равна dQ = da + dU = dU То есть при изохорическом процессе вся теплота, передаваемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии.

P = const Изобарический процесс – процесс, происходящий в физической системе при постоянном давлении (P = const). - закон Гей- Люссака

2) Изобарический процесс: p = const В изобарическом процессе газ совершает работу Работа равна площади под прямой изобары. Из уравнения состояния идеального газа получаем 2) Изобарический процесс: p = const В изобарическом процессе газ совершает работу Работа равна площади под прямой изобары. Из уравнения состояния идеального газа получаем

Перепишем последнее соотношение в виде Это равенство раскрывает физический смысл газовой постоянной R - она равна работе 1 моля идеального газа, совершаемой им при нагревании на 1° К в условиях изобарного расширения. Возьмем в качестве начального состояния - состояние идеального газа при нормальных условиях (Т 0, V 0 ), тогда объем газа V при произвольной температуре Т в изобарическом процессе равен Объем газа при постоянном давлении пропорционален его температуре - закон Гей-Люссака. Перепишем последнее соотношение в виде Это равенство раскрывает физический смысл газовой постоянной R - она равна работе 1 моля идеального газа, совершаемой им при нагревании на 1° К в условиях изобарного расширения. Возьмем в качестве начального состояния - состояние идеального газа при нормальных условиях (Т 0, V 0 ), тогда объем газа V при произвольной температуре Т в изобарическом процессе равен Объем газа при постоянном давлении пропорционален его температуре - закон Гей-Люссака.

Адиабатный процесс – процесс, происходящий в физической системе без теплообмена с окружающей средой (Q = 0). уравнение Пуассона. γ – показатель адиабаты.

4) Адиабатический процесс : dQ = 0 При адиабатическом процессе теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует. Из первого начала термодинамики получаем dA = - dU Поэтому в адиабатическом процессе работа газа над внешними телами совершается за счет убыли его внутренней энергии. Используя dU = с V dT ; dA = рdV находим рdV = - с V dT С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа следует d(рV) = pdV + Vdp = RdT 4) Адиабатический процесс : dQ = 0 При адиабатическом процессе теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует. Из первого начала термодинамики получаем dA = - dU Поэтому в адиабатическом процессе работа газа над внешними телами совершается за счет убыли его внутренней энергии. Используя dU = с V dT ; dA = рdV находим рdV = - с V dT С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа следует d(рV) = pdV + Vdp = RdT

Исключая dT, получаем рdV = - с V (pdV + vdp)/R Откуда Интегрируя, находим Исключая dT, получаем рdV = - с V (pdV + vdp)/R Откуда Интегрируя, находим

Последнюю формулу можно переписать в виде Следовательно это уравнение адиабатического процесса - уравнение Пуассона Так как > 1, то у адиабаты давление меняется от объема быстрее, чем у изотермы. Последнюю формулу можно переписать в виде Следовательно это уравнение адиабатического процесса - уравнение Пуассона Так как > 1, то у адиабаты давление меняется от объема быстрее, чем у изотермы.

Используя уравнение состояния идеального газа, преобразуем уравнение Пуассона к виду Значит или При адиабатическом расширении идеальный газ охлаждается, а при сжатии – нагревается. Используя уравнение состояния идеального газа, преобразуем уравнение Пуассона к виду Значит или При адиабатическом расширении идеальный газ охлаждается, а при сжатии – нагревается.

Политропический процесс Политропический процесс – процесс, протекающий при постоянной теплоёмкости, c m = const. где n - показатель политропы. где c m – молярная теплоемкость.

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Из первого начала термодинамики следует откуда получаем Найдем уравнение политропы для идеального газа. Из первого начала термодинамики следует откуда получаем

С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа Поэтому можно записать Поскольку c P = c V + R то С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа Поэтому можно записать Поскольку c P = c V + R то

Обозначим, получим Интегрируем Следовательно - уравнение политропы, n - показатель политропы. Обозначим, получим Интегрируем Следовательно - уравнение политропы, n - показатель политропы.

Все изопроцессы являются частным случаем политропического процесса:

Энтропия S. Адиабатические процессы в термодинамических системах могут быть равновесными и неравновесными. Для характеристики равновесного адиабатического процесса можно ввести некоторую физическую величину, которая оставалась бы постоянной в течение всего процесса; ее назвали энтропией S. Энтропия Энтропия есть такая функция состояния системы, элементарное изменение которой при равновесном переходе системы из одного состояния в другое равно полученному или отданному количеству теплоты, деленному на температуру, при которой произошел этот процесс для бесконечно малого изменения состояния системы

Изменение энтропии в изопроцессах Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то изменение энтропии: Найдем изменения энтропии в процессах идеального газа. Так как а то

Или Изменение энтропии S 1 2 идеального газа при переходе его из состояния 1 в состояние 2 не зависит от пути перехода 1 2. изохорического процесса: изобарического процесса: p 1 = p 2 изотермического процесса: Т 1 = Т 2 адиабатного процесса:

Следовательно, S = const, адиабатный процесс по другому называют – изоэнтропийным процессом. Энтропия системы пропорциональна массе (или числу частиц) этой системы Q=c m ΔT Масса системы представляется в виде суммы масс ее составных частей, поэтому энтропия всей системы будет равна сумме энтропии ее составных частей, т. е. энтропия есть аддитивная величина. Во всех случаях, когда система получает извне теплоту, то Q положительно, следовательно, S 2 > S 1 и энтропия системы увеличивается. Если же система отдаст теплоту, то Q имеет отрицательный знак и, следовательно, S 2 < S 1 ; энтропия системы уменьшается.

Изопроцессы могут быть изображены графически в координатных системах, по осям которых отложены параметры состояния. давление p - объем V температура Т– объем V температура Т – давление p V 1 V 2 При адиабатическом расширении внешняя работа совершается только за счет внутренней энергии газа, вследствие чего внутренняя энергия, а вместе с ней и температура газа уменьшаются (Т 2 < T 1 ) При изотермическом процессе Т 2 = T 1

Удобство координатной системы р, V В масштабе чертежа внешняя работа изображается площадью, ограниченной кривой процесса 12 и ординатами начального и конечного состояний

Круговые (замкнутые) процессы Совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом (циклом). Прямой цикл – работа за цикл Обратный цикл – работа за цикл

Тепловая машина Циклически действующее устройство, превращающее теплоту в работу, называется тепловой машиной или тепловым двигателем. Q 1 – тепло, получаемое РТ от нагревателя, Q 2 – тепло, передаваемое РТ холодильнику, А – полезная работа (работа, совершаемая РТ при передаче тепла).

В цилиндре находится газ – рабочее тело (РТ). Начальное состояние РТ на диаграмме p(V) изображено точкой 1. Цилиндр подключают к нагревателю, РТ нагревается и расширяется. Следовательно совершается положительная работа А 1, цилиндр переходит в положение 2 (состояние 2).

Процесс 1–2: – первое начало термодинамики. Работа А 1 равна площади под кривой 1a2. Чтобы поршень цилиндра вернуть в исходное состояние 1, необходимо сжать рабочее тело, затратив при этом работу – А 2.

Для того чтобы поршень совершил полезную работу, необходимо выполнить условие: А 2 < А 1. С этой целью сжатие следует производить при охлаждении цилиндра, т.е. от цилиндра необходимо отводить к холодильнику тепло –Q 2. Процесс 2–1: – первое начало термодинамики. Работа А 2 равна площади под кривой 2b1.

Сложим два уравнения и получим: Рабочее тело совершает круговой процесс 1a2b1 – цикл. К.п.д.

Процесс возвращения рабочего тела в исходное состояние происходит при более низкой температуре. Следовательно, для работы тепловой машины холодильник принципиально необходим.

Цикл Карно Никола Леонард Сади КАРНО – блестящий французский офицер инженерных войск, в 1824 г. опубликовал сочинение «Размышления о движущей силе огня и о машинах способных развить эту силу». Ввел понятие кругового и обратимого процессов, идеального цикла тепловых машин, заложил тем самым основы их теории. Пришел к понятию механического эквивалента теплоты.

из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей и холодильников, наибольшим КПД обладают обратимые машины. Причем КПД обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и холодильников, равны друг другу и не зависят от конструкции машины. При этом КПД меньше единицы. Карно вывел теорему, носящую теперь его имя:

Процесс А-В – изотермическое расширение Процесс В-С – адиабатическое расширение. – коэффициент Пуассона.

Процесс С-D – изотермическое сжатие Процесс D-A – адиабатическое сжатие.

КПД цикла Карно η < 1 и зависит от разности температур между нагревателем и холодильником (и не зависит от конструкции машины и рода рабочего тела). Если Т 2 = 0, то η = 1, что невозможно, т.к. абсолютный нуль температуры не существует. Если Т 1 =, то η = 1, что невозможно, т.к. бесконечная температура не достижима.

При изотермических процессах температура остаётся постоянной, при адиабатических отсутствует теплообмен, а значит, сохраняется энтропия: Поэтому цикл Карно удобно представить в координатах T и S (температура и энтропия). Особенностью Т-S координат является то, что площадь под линией процесса соответствует количеству энергии отданной или полученной рабочим теломтемператураэнтропия Цикл Карно состоит из четырёх стадий: 1. Изотермическое расширение (на рисунке процесс AБ). В начале процесса рабочее тело имеет температуру, то есть температуру нагревателя. Затем тело приводится в контакт с нагревателем, который изотермически (при постоянной температуре) передаёт ему количество теплоты. При этом объём рабочего тела увеличивается.количество теплоты 2. Адиабатическое (изоэнтропическое) расширение (на рисунке процесс БВ). Рабочее тело отсоединяется от нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура уменьшается до температуры холодильника. 3. Изотермическое сжатие (на рисунке процесс ВГ). Рабочее тело, имеющее к тому времени температуру, приводится в контакт с холодильником и начинает изотермически сжиматься, отдавая холодильнику количество теплоты. 4. Адиабатическое (изоэнтропическое) сжатие (на рисунке процесс ГА). Рабочее тело отсоединяется от холодильника и сжимается без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура увеличивается до температуры нагревателя.

Теоремы Карно. 1.К.п.д. η обратимой идеальной тепловой машины Карно не зависит от рабочего вещества. 2. К.п.д. необратимой машины Карно не может быть больше к.п.д. обратимой машины Карно.