Ребята, мы переходим к изучению новой темы, правда стоит отметить, что она тесно связана с нашей предыдущей темой степенных функций и корней n-ой степени. Сегодня, мы с вами будем изучать показательные функции, эта функции вот такого вида: Правда, давайте отметим, что до этого мы рассматривали некое подобие таких функций, x всегда было рациональным числом, как же быть в случае иррационального числа.

Определение. Пусть а>1 и α=а,а 1 а 2 а 3 а 4…an… - положительное иррациональное число (бесконечная десятичная не периодичная дробь). Тогда последовательность десятичных приближений числа α вот такая: α1= а,а 1; α2= а,а 1a2; α3= а,а 1a2a3… αn= а,а 1a2a3…an Тогда предел последовательности обозначают как - степень с иррациональным показателем. Если а>1 и α

Степени с произвольным действительным показателем обладают теми же свойствами, что и привычные нам степени, которые мы изучали раньше: Ребята, очередная небольшая памятка для вас!

Ребята, давайте теперь построим график функции Составим таблицу значений: Построим график функции по точкам:

Свойства функции: 1. D(f)=(-;+) 2. Не является ни четной, ни нечетной. 3. Возрастает на всей области определения. 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет. 6. Непрерывна. 7. E(f)=(0; +). 8. Выпукла вниз. Такими же свойствами обладает любая функция

Рассмотрим функцию вида: Так же построим ее график по точкам:

Свойства функции: 1. D(f)=(-;+) 2. Не является ни четной, ни нечетной. 3. Убывает на всей области определения. 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет. 6. Непрерывна. 7. E(f)=(0; +). 8. Выпукла вниз. Такими же свойствами обладает любая функция

Мы рассмотрели два примера показательных функций, теперь давайте введем общее определение для показательных функций: Определение. Функцию вида называют показательной функцией. Основные свойства показательных функций:

Построим два графика в общем виде: График нашей функции всегда будет проходить через точку (1;a), если a>1 или через точку (-1;a) если 0

Пример. Решить уравнения и неравенства: а) б) в) г) д) Решение. Воспользуемся графическим методом решения: а) Построим на одной координатной плоскости прямые Наши графики пересекаются в одной точке (0;1), что означает единственность решения. х=0. б) Построим на одной координатной плоскости прямые Наши графики пересекаются в одной точке (2;9), что означает единственность решения. х=2. в) Очевидно, что наше уравнение так же имеет один корень. Мы можем и не строить графики функции. г) График функции расположен выше прямой y=1 при х>0, это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом. д) График функции расположен ниже прямой y=9 при х

Графики наших функций: Теорема 1. Если a>1, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда x=y Теорема 2. Если a>1, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда x>0. Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда x

Пример. Решить уравнения и неравенства: а) б) в) г) д) Решение. Воспользуемся графическим методом решения: а) Построим на одной координатной плоскости прямые Наши графики пересекаются в одной точке (0;1), что означает единственность решения. х=0. б) Построим на одной координатной плоскости прямые Наши графики пересекаются в одной точке (-1;3), что означает единственность решения. х=-1. в) Очевидно, что наше уравнение так же имеет один корень. Мы можем и не строить графики функции. г) График функции расположен выше прямой y=1 при х-2, это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом. Графики наших функций на следующем слайде.

Графики наших функций: Теорема 3. Если 0

Пример. Построить график функции и найти наибольшее, наименьшее значение на отрезке [-2;2]. Решение. График исходной функции получается из графика функции смещением его на 3 единицы вверх. Так как наша функция монотонная, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах заданного отрезка.

Пример. Решить уравнения и неравенства: а)б)в) Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости: а)Наши функции пересекаются в точке (1;4) – это и будет единственным решением, так как показательная функция возрастает, а линейная убывает, а мы знаем, что в таком случае решение единственно. б) Посмотрим на наши графики, и найдем промежуток, на котором показательная функция ниже линейной: x

Задачи для самостоятельного решения. 1. Решить уравнения и неравенства: а) б) в) г) д) 2. Решить уравнения и неравенства: а) б) в) г) д) 3. Построить график функции и найти наибольшее, наименьшее значение на отрезке [-3;3]. 4. Решить уравнения и неравенства: а) б) в)