Понятие объема многогранников. Объем прямоугольного параллелепипеда.

1. О понятие объема тела Аналогия с S M S(M) 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 2. Площадь многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников, если они не имеют общих точек. 3. Площадь единичного квадрата равна единице.

e e – единица длины е Единичный квадрат Пользуясь наличием единичного квадрата, площадь S любого многоугольника можно представить в виде S = se², где s – количество «укладываемых» в многоугольник единичных квадратов.

Введение понятие объема тела. е е е Единица измерения объемов – объем куба с ребром длины е, который обозначают е³, где е – единица измерения длин отрезков. V = ve³ Объем единичного куба с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см³. Аналогично определяются кубический дециметр ( дм³), кубический метр (м³) и т.д. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывается, сколько единиц измерения объемов и ее частей содержится в данном теле.

Задача измерения объемов тел ( в частности, многогранников ) состоит в том, чтобы при выбранной единице измерения каждому телу Т (многограннику М ) поставить в соответствие определенное положительное число V(T) ( V(M) ), называемое объемом тела Т (многогранника М), так, что выполняются следующие условия. 1)Объем куба Е, ребро которого равно единице измерения длин отрезков, равен единице и принимается за единицу измерения объемов : V(E)= Е V(E)=1

2) Если тело Т является объединением нескольких тел, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов составляющих его тел ( свойство аддитивности ). =+ V(C) = V(A) + V(B) B B A A C

Следствие из свойства 2. Если тело с объемом V1 содержится в теле с объемом V2, то V1 V2 ( свойство монотонности объемов ) V1 V2

3) Равные тела имеют равные объемы ( свойство инвариантности ) Объемы тел вычисляются с помощью формул, зависящих от элементов данных тел, поэтому если тела равные (идентичные), то и объемы тел равны. a a bb hh T1 T2 V(T1) = V(T2 ), если Т1 = Т2

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими. Два тела называют равносоставленными, если, определенным образом разбив одно из них на конечное число частей, можно ( располагая эти части в некотором порядке ) составить из них второе тело. Равносоставленные тела равновелики. Обратное не всегда верно.

Объем прямоугольного параллелепипеда. 1) Натуральные a,b,c. 2) V к =1 3) V= a*b 4) V=a*b*c a b c

Объем прямоугольного параллелепипеда. 1) Рациональные a,b,c. m, n, s, r, q, p - натуральные a b c

Объем прямоугольного параллелепипеда. 1) Иррациональные а, b, c. a n- < а < a n+ b n- < b < b n+ c n- < c < c n+ n-натуральное, точность приближения Где a n-, a n+, b n-,b n+ c n-,c n+ рациональные Тогда a n- *b n- *c n- < a*b*c < a n+ *b n+ *c n+ устремляя n в бесконечность V = a*b*c a b c