Теория пластин Условия на контуре пластины Типичные краевые условия Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко

Условия на контуре пластины При постановке краевой задачи для уравнения изгиба тонкой пластины необходимо сформулировать дополнительное условие на контуре пластины (рис.1). Уравнение стационарное, четвертого порядка в частных производных, поэтому для математической формулировки граничных условий необходимо на контуре задать две функции, для каждой точки контура. Рис.1 Контур пластины

Типичные краевые условия Заделанный край: прогиб и угол поворота в точке на границе равны нулю: (1) Шарнирное опирание: прогиб и изгибающий моменты равны нулю: (2) Обычно предполагается, что шарнирная опора является идеально жесткой, т.е. прогиб вдоль контура тождественно равен нулю, тогда, и следовательно,

Типичные краевые условия Так как коэффициенты жесткости Δnn0, то граничные условия могут быть сформулированы следующим образом (3) Свободная от закрепления граница, на которой нет напряжений и где следовало бы приравнять нулю моменты и перерезывающие усилия: (4)

Типичные краевые условия Рис. 2 Расчетная схема Максвелла на свободной границе

Типичные краевые условия Для приближенного удовлетворения граничных условий была предложена следующая расчетная схема – схема Максвелла (рис.2), где граничные условия формулируются для изгибающего момента М=0 и приведенного или суммарного перерезывающего усилия (5) Используя известное соотношение (6) и выражая моменты через прогибы, можно получить граничные условия для свободного края.

Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Теория С.П. Тимошенко. Пусть нормали при деформировании пластин остаются прямолинейными и длина их не изменяется, но после деформирования нормаль поворачивается на некоторый угол: (7) следовательно, (8) Так как нормаль остается прямолинейной, то правая часть от z не зависит: (9) и, учитывая, что перемещение на серединной поверхности отсутствует, (10) аналогично (11)

Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Для определения поля перемещений необходимо знать w(x,y) и функции углов поворота нормалей γ xz (x,y) и γ yz (х,у). Получим соотношение деформаций: (12) Напряжения на пластинке определим, используя закон Гука: (13)

Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Внутренние усилия Мх,Му,Мхy,Qx,Qy; связаны с полями напряжений и перемещений соотношениями: (14)

Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Решая систему трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных функций прогиба w(x,y) и углов поворота γ xz( х,у) и γ yz (х,у), получим решение задачи об изгибе пластинки по модели С.П.Тимошенко. По этой теории часто рассчитывают толстые пластинки. Теория позволяет проводить оценку прочности на расслоение.