Лекция 8 Винтовые поверхности. Многогранники

Винтовые поверхности. В технике часто встречаются винтовые поверхности, образованные при винтовом движении прямой. Такие поверхности образуются при движении произвольной образующей по винтовой направляющей. Если образующая - прямая линия, то образованные поверхности называются геликоидами.

Винтовая поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). Поверхность можно задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой.

В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми, если угол равен 90°, и наклонными (косыми), если угол – произвольный, отличный от 0 и 90°.

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей i по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i; при этом образующая пересекает винтовую ось под прямым углом. Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках.

ветроротор Шнековый ветроротор (фиг.1) работает следующим образом. При направлении ветра v нагрузку воспринимают расположенные слева от оси вогнутые участки лопастей (на фиг. 1 показан трехзаходный воронкообразный геликоид с правой навивкой и направленной вниз остью z), вследствие этого возникает направленный влево вращающий момент. При смене направления ветра момент не изменяется. Ветроротор вращается в подшипниковых опорах 4 и 5 и через передачу 8 вращение от него передается мультипликатору 9, а затем электрогенератору 10. Ветроротор может монтироваться в горизонтальном положении, соединяться внизу с шарниром 6, затем с помощью растяжек 7 и дополнительной стойки (падающей стрелы, на фиг.1 не показана) известными методами подниматься в вертикальное положение. В местностях с неизменным направлением ветра ветроротор может использоваться в наклонном положении так, чтобы ось z составляла с ветром тупой угол (на фиг.1, положение II). В этом случае воронкообразные винтовые лопасти как бы захватывают ветровой поток. В наклонном положении шнековый ветроротор с воронкообразными лопастями можно использовать и в ориентируемых конструкциях, как используется шнековый ротор с прямыми лопастями, но эффективность его будет большая, нежели у прямого.

Алгоритм построения прямого геликоида i2i2 i1i1 m2m2 m1m1 m, - направляющие 2 1 гелиоса

Многогранники

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной. Рассмотрим некоторые виды многогранных поверхностей. Их элементами являются грани, ребра и вершины. Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней - вершинами

Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (б, г), в противном случае - незамкнутой (рис. а, в). Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке - вершине (рис. а). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы. Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рис. г). Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником. Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы.

Пирамида Пирамида (др. егип. purama) - многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, треугольники, имеющие общую вершину вершину пирамиды.

Призма Призма (греч. prisma опиленная) - многогранник, у которого две грани - основания равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани - боковые являются прямоугольниками, квадратами или параллелограммами. Призма называется прямой или наклонной, исходя из того, будут ли ее ребра (линии пересечения боковых граней) перпендикулярны или наклонны к основаниям.

Призма

Призма прямая Если боковые ребра перпендикулярны основанию, призма называется прямой.

Среди других видов многогранников следует выделить - призматоиды и правильные многогранники (тела Платона). Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания - многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции. Существует пять правильных многогранников:

Тетраэдр (четырехгранник) - ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками. Гексаэдр (четырехгранник, или куб) - ограничен шестью равными квадратами. Октаэдр (восьмигранник) - ограничен восемью равносторонними и равными треугольниками. Додекаэдр (двенадцатигранник) - ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками. Икосаэдр (двадцатигранник) - ограничен двадцатью равносторонними и равными треугольниками.

Тетраэдр Тетраэдр- правильная пирамида, ограниченная четырьмя равносторонними треугольниками.

Гексаэдр Гексаэдр (четырехгранник, или куб) - ограничен шестью равными квадратами

Октаэдр Октаэдр – поверхность, состоящая из восьми Октаэдр равносторонних треугольников. ОКТАЭДР ПРАВИЛЬНЫЙ (греч. octo восемь, hedraсторона). Восьмигранник, поверхность которого состоит из восьми равносторонних треугольников. Имеет восемь граней, шесть вершин, двенадцать ребер. Октаэдр может быть и неправильным

Октаэдр звездчатый Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры основания которые совпадают с гранями октаэдра. его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба.

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины Додекаэдр

Икосаэдр Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

Условие принадлежности линии поверхности Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат поверхности. Точка принадлежит поверхности, если принадлежит прямой, принадлежащей поверхности.

Примеры пересечения поверхностей c прямой линией

Пересечение прямой с поверхностью. Для нахождения точек встречи прямой с поверхностью любого типа, т.н. точек входа и выхода, поступают точно так же, как и при нахождении точек встречи прямой с плоскостью: Прямую заключают в плоскость-посредник S: m S Определяют линию пересечения l плоскости S с поверхностью : l=S Искомые точки входа и выхода прямой m определяют как результат пересечения её с линией пересечения l: t 1,2 =lm Чтобы получить рациональное решение, следует использовать наиболее простой способ получения линии пересечения l. В качестве линии пересечения стремятся получить либо прямую, либо окружность.

X 2,1 А2А2 А1А1 С1С1 С2С2 В1В1 В2В2 S2S2 S1S α K1K1 M1M1

Этого можно достичь : путём выбора положения вспомогательной секущей плоскости; переводом прямой в частное положение. В качестве вспомогательной может быть выбрана как плоскость частного, так и плоскость общего положения. Пример. Дано: Прямой круговой конус, прямая m Нужно: Построить точки пересечения поверхности конуса и прямой m общего положения. Заключим прямую m в плоскость, проходящую через вершину S конуса. Для этого возьмём точки А и В на m. Через S 2, А 2, В 2 проводим фронтальную проекцию плоскости. Находим горизонтальный след вспомогательной плоскости и горизонтальную проекцию вспомогательной плоскости и линию её сечения с поверхностью.

Задача : построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса. Определить видимость прямой. Решение задачи : 1 - нужно через прямую провести вспомогательную произвольную плоскость, найти след этой плоскости. 2 – найти точки пересечения образующих конуса с прямой; 3 – по принадлежности определить фронтальные проекции точек пересечения. 4 – определить видимость прямой. О2О2 О1О1 S1S1 S2S2 A1A1 A2A2 B1B1 B2B X 2,1

Определить точки пересечения прямой и сферы X 2,1 Для решения воспользуемся вспомогательной фронтально проецирующей плоскостью. R R R 1 2

Построить точки пересечения цилиндрической поверхности с прямой X 2,1 О ٰ 2 О ٰ 1 О2О2 Оٰ1Оٰ1 1 2 Н2Н2 НН 1 Н ٰ2Н ٰ2 Нٰ Н ٰ N1N1 М1М1 N2N2 М2М2 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2

Принадлежность прямой и точки поверхности

S1S1 S2S2 A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 C1C1 C2C2 S3S3 C3C3 A3 A3 M2 M O M1M1 M3M3 B3B3