Лекция 12 Взаимные пересечения поверхностей

Пересечение поверхностей Из линейной алгебры (многомерной геометрии) хорошо известно, что в расширенном евклидовом пространстве Еn+ размерность пересечения геометрических объектов может быть определена из соотношения p = m1 + m2 - n, где p - размерность объекта получаемого в пересечении, m1 - размерность первого объекта (m1 - поверхности), m2 - размерность второго объекта (m2 - поверхности), n - размерность рассматриваемого пространства. В соответствии с выше приведенной формулой пересечение двух поверхностей (двумерных m1 = m1 = 2) в трехмерном евклидовом пространстве Е3+ должно привести к появлению одномерного объекта p = 2+2-3=1 - пространственной кривой (p = 1), все точки которой являются общими для обеих поверхностей.

При построении линии пересечения наиболее характерны два случая: - одна из проекций линии пересечения известна и задача сводится к отысканию недостающих проекций точек по принадлежности одной из поверхностей; - проекции линии пересечения не известны. И в том и другом случае задача решается введением дополнительных секущих поверхностей, позволяющих находить точки, принадлежащие одновременно трем геометрическим объектам. В качестве дополнительных поверхностей берутся плоскости, цилиндры и сферы, дающие наиболее простые (заранее известные) линии при пересечении с заданными поверхностями.

Построение линии пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линиям пересечения. Применение вспомогательных секущих плоскостей.

Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы - способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примерах построения линий пересечения призмы с пирамидой, цилиндра с конусом вращения. Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают цилиндр и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.

Пример модели

B1B1 C1C1 A1A1 B2B2 C2C2 A2A2 S2S2 S1S1 F2F2 E2E2 D2D2 F 2 E 2 D 2 F1F1 E1E1 D1D Пример пересечения призмы с пирамидой

Построение линии пересечения кривых поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения. Применение вспомогательных секущих плоскостей.

Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных секущих плоскостей. Если используются сферы - способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения конуса и полусферы вращения, конуса и цилиндра, конуса и призмы, полусферы и цилиндра. Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают конус и полусферу по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.

В пересечении поверхностей образуется линия, порядок которой равен произведению порядков кривых поверхностей, участвующих в пересечении. Опорные и промежуточные точки определяются с помощью способа вспомогательных плоскостей.

S2S2 S 1 O 1 O2O2 O2´O2´ O1´O1´ Σ1Σ1 A2A2 q1q1 q1´q1´ q2´q2´ q2q2 Γ2Γ2 B1B1 B1´B1´ B2B2 Γ 2 R R R C2C2 C1´C1´ C1C1 A1A1 Г 2 Пример пересечения конуса с полусферой

Анализ: Случай врезки. Линия пересечения – пространственная кривая 4-го порядка. Используем способ вспомогательных секущих плоскостей. Рассмотрим Алгоритм решения: Плоскость П2 пересекает поверхности по главным меридианам q, q и дает экстремальную точку А (она же очерковая на П2). Плоскость Г П1 пересекает поверхности по горизонтальным очеркам и дает очерковые на П1 точки В и В. Плоскости Г П1 и Г П1 пересекают поверхности по окружностям и дают соответственно экстремальные и промежуточные точки.

Пересечение конуса и цилиндра

Для решения воспользуемся методом секущих плоскостей А 2 А ٰ 2 В 2 В ٰ 2 С 2 С ٰ 2 В ٰ 1 В1В1 А ٰ 1 С1С1 С ٰ 1 А1А Δ2Δ2 R R1R R2R Пересечение конуса и призмы

Рассмотрим опорные точки Используем вспомогательные плоскости R R1R1 R1R1 R2R2 R2R2 Пересечение полусферы с цилиндром

СООСНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Теорема. Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных полу меридианов поверхностей

Число окружностей при пересечении поверхностей равно числу точек пересечения их меридианов m и n, расположенных по одну сторону от оси вращения i. соосных поверхностей вращения m2m2 n2n2 A2A2 A1A1 Точки пересечения меридианов при их вращении описывают окружности, принадлежащие обеим поверхностям и являющиеся линиями их пересечения. i2i2 i1i1

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР Для построения линии пересечения поверхностей вращения, имеющих круговые сечения, в ряде случаев в качестве вспомогательных поверхностей целесообразно использовать сферы. Разновидности способа включают в себя: способ концентрических сфер и способ эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется, если: - оси поверхностей пересекаются; - есть общая плоскость симметрии; - если способ вспомогательных секущих плоскостей не дает простого решения. Способ эксцентрических сфер применяется, если: - оси поверхностей скрещиваются; - есть общая плоскость симметрии; - каждая из поверхностей имеет семейство круговых сечений; - если способ вспомогательных секущих плоскостей не дает простого решения.

Применение концентрических сфер Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения - окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром.

Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях: обе пересекающиеся поверхности - поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер; плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций. В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, необходимо использовать способы преобразования чертежа.

Пример применения способа концентрических сфер A2A2 B2B2 A1A1 1 C2C2 D 2 E 2 E1E1 D1D1 B1B1 C1C1

Пересечение двух цилиндров Линия пересечения двух цилиндров может быть определена с помощью метода секущих сфер. Это определяется тем, что рассматриваемые поверхности являются поверхностями вращения и оси вращения пересекаются. Линия пересечения распадается на две ветви, нижнюю и верхнюю, построение которых аналогично Фронтальные проекции характерных точек линии пересечения 1 2, 2 2, 3 2, 4 2 определятся в результате пересечения фронтальных очерков поверхностей,а горизонтальные - определятся по принадлежности этих точек цилиндру. Низшая точка линии пересечения (А)определяется введением сферы, которая пересечет цилиндр по окружности l(фронтальная проекция этой окружности совпадет с фронтальной проекцией оси вращения цилиндра). С цилиндром эта же сфера пересечется по окружности m. Точка A и есть результат пересечения окружностей l и m. Промежуточные точки определятся аналогично, как пересечение окружностей, получающихся в пересечении произвольных сфер с цилиндрами. Фронтальные проекции точек линии пересечения определяются как пересечения отрезков прямых, в которые вырождаются окружности, перпендикулярные оси вращения, а горизонтальные проекции находятся по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае - поверхности ?.

A2A2 B2B2 m2m2 l Пример пересечения цилиндров

Применение вспомогательных эксцентрических сфер. Такие сферы применяют, если: Одна из пересекающихся поверхностей - поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения; Две поверхности имеют общую плоскость симметрии (т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй поверхности принадлежат одной плоскости - плоскости их симметрии); Плоскость симметрии параллельна плоскости проекций ( это условие при необходимости может быть обеспечено преобразованием чертежа).

Построение линии пересечения прямого кругового конуса и тора, оси которых скрещиваются Ось конуса параллельна плоскости П 2, ось тора перпендикулярна плоскости П 2, окружность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости П 2. Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией а 2 и низшая d 2 - являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса. Для построения проекций промежуточных точек, например проекции b 2, выполняют следующие построения. выбирают на поверхности тора окружность, например с проекцией с центром в точке с проекцией 3 2. Перпендикуляр к плоскости этой окружности из точки с проекцией 3 2 является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция О 1. Эта сфера радиусом R 1 пересекает конус по окружности с проекцией Пересечение проекций и является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b 2 одной из указанных точек - точки на видимом участке линии пересечения.

Построение проекций второй пары точек линии пересечения, из которых обозначена проекция c 2, выполнено с помощью отрезка проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции c 2 - сфера радиусa R 2 с центром, проекция которого О 2. Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией В пересечении проекций и окружностей находим проекцию c 2 искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекающихся поверхностей.

Пример построения линии пересечения прямого кругового конуса и тора O2O2 O

Пример пересечения трех поверхностей