Лекция 10 Пересечение поверхности плоскостью

При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается фигура, которая называется сечением. Сечение поверхности плоскостью в общем случае представляет собой кривую (или прямую, если пересекаются плоскости), принадлежащую секущей плоскости.

Примеры пересечения поверхностей плоскостью

Алгоритм определения линии сечения поверхности плоскостью Определение проекций линий сечения следует выполнять по следующему алгоритму: Определить опорные точки – точки расположенные на очерковых образующих поверхности (эти точки определяют границы видимости проекции кривой);

Экстремальные точки, удаленные на минимальные и максимальные расстояния от плоскостей проекций; Произвольные (промежуточные) точки линии сечения В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая.

Пересечение многогранников плоскостью. При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением. Сечение поверхности плоскостью - плоская кривая, принадлежащая секущей плоскости. При сечении многогранника плоскостью образуется ломаная линия, при сечении кривой поверхности - кривая линия. Проекциями сечения многогранников, в общем случае являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны – граням многогранника.

Задача по определению сечения многогранника сводится к многократному решению задач: а) по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью; или б)по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости).

При решении задачи на пересечение поверхности плоскостью необходимо выполнить следующий анализ: 1. Определить какого положения плоскость и поверхность относительно плоскостей проекций. Если плоскость проецирующая, то на одной из плоскостей проекций линия пересечения уже имеется. Её нужно обозначить, а на второй положение определить по принадлежности.

2. Если поверхность – общего положения, то необходимо одну из поверхностей преобразовать в проецирующую. 3. Выяснить возможный характер линии пересечения.

Построение линии пересечения поверхности призмы с плоскостью общего положения X 2,1 А1А1 А2А2 В2В2 В1В1 С2С2 С1С1 Аٰ 2 Вٰ 2 Сٰ 2 Сٰ 1 Вٰ 1 Аٰ 1 X,1,

Пересечение плоскости с многогранником Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о нахождении точки пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами искомого сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению линий пересечения плоскости с гранями тела. Задача. Дана призма и плоскость общего положения заданная двумя пересекающимися прямыми а и b. Необходимо построить сечение призмы данной плоскостью.

X 2,1 А1А1 А2А2 В2В2 В1В1 С2С2 С1С1 Аٰ 2 Вٰ 2 Сٰ 2 Сٰ 1 Вٰ 1 Аٰ 1 D1D1 E 1E 1 Fٰ2Fٰ2 Eٰ2Eٰ2 Dٰ2Dٰ h 2 h 1 X,1, E 4E 4 F X 4,5 C 4C 4 A 4A 4 B 4B 4 Сٰ 4 Aٰ 4 Bٰ D 4D 4 F 4F 4 D5D5 F5F5 E5E5

Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола линии пересечения плоскости с конической поверхностью

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола и окружность а в частных случаях: прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

Примеры пересечения конуса плоскостями. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник(а). В сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (б). Если секущая плоскость наклонна к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении могут получиться эллипс, парабола и гипербола. Эллипс получается в том случае, когда угол между секущей плоскостью и осью вращения (β) больше, чем угол между осью вращения и образующей конуса (α) (рис.в), т. е. плоскость пересекает все образующие конуса.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник(а). В сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (б).

Если секущая плоскость наклонна к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении могут получиться эллипс, парабола и гипербола. Эллипс получается в том случае, когда угол между секущей плоскостью и осью вращения (β) больше, чем угол между осью вращения и образующей конуса (α) (рис.в), т. е. плоскость пересекает все образующие конуса.

Если углы α и β равны, т.е. секущая плоскость проходит параллельно одной из образующих конуса, в сечении получается парабола(рис.г). Если секущая плоскость, направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что угол β будет меньше угла α, то в сечении получится гипербола (рис.д).

Примеры пересечения конуса плоскостью Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс. В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.

Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола. В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую.

Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ

X 2,1 S 2 O 2 O 1 S 1 h 2 h 1 A1A1 A2A2 X 1,4 h 4 A4A4 a a S4S4 R

Пересечение поверхности проецирующей плоскостью

Σ2Σ RR Δ2Δ

Пересечение фронтально проецирующей плоскостью Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П 1 и П 3 в виде эллипса, а на плоскость П 2 в прямую линию ограниченную очерком сферы. Охарактеризуем выбранные для построения точки: 1, 8- две вершины эллипса, определяющие положение малой оси на горизонтальной и профильной проекциях, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы. Эти точки являются соответственно высшей и низшей точками сечения. 2, 3- фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П 3.

4, 5- две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α. 6, 7- фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П1. Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 1 2 …8 2. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β- горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 2 2, 3 2 проведем след плоскости β12, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β1 и сферы будет окружность m11, а точки 2 1 и 3 1 лежат на этой окружности по линии связи ( в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 11 и 81, которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П1. Построенные точки 11…81 соединим плавной кривой линией с