Лекция 11 Развертки поверхностей

Развёртка поверхности Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся.

Основные свойства развертки: длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.

РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью. а) Пирамида и ее развертка. Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников. Существует три метода построения развертки многогранных поверхностей: 1. Метод треугольника. 2. Метод нормального сечения. 3. Метод раскатки. Рассмотрим применение каждого метода на примерах развертки пирамиды (метод треугольника) и призмы (метод нормального сечения и раскатки)пирамиды призмы

S А В С В В

РАЗВЕРТКА ПИРАМИДЫ При построении развертки пирамиды применяется метод треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания.

S2S2 S1S1 А1А1 B1B1 C1C1 А2А2 B2B2 C2C2 А0А0 C0C0 B0B0 S0S0 А0А0 C0C0 B0B0 А0А0 B0B0 D2D D1D D0D D0D0 Алгоритм построения развертки наклонной пирамиды

X 2,1 А1А1'А1А1' В1В1'В1В1' С1С1'С1С1' С2С2 В2'В2' В2В2 А2А2 А2'А2' С2'С2' В3'В3'С3'С3'А3'А3' А3А3 В3В3 С3С X 2, Пример определения натуральной величины сечения поверхности призмы плоскостью Δ2Δ2

Построение развертки призмы Δ2Δ2 X 2,1 А1А1 В1В1 С1С1 С2С2 В2'В2' В2В2 А2А2 А2'А2' С2'С2' А1'А1' В1'В1' С1'С1' X 2, А0'А0' А0А0 В0'В0' В0В0 С0'С0' С0С0 А0'А0' А0А0 А0А0 А0'А0' М2М2 М2М2 М0М0

Построение развертки цилиндра способом раскатки O2O2 O 1 O 2 O1O

Пример развертки цилиндра

Построение развертки конуса S2S2 S1S1 S0S S0S О0О0 А2А2 B 2 B1B1 А1А1 А0А0 А0А0 X 2,1 О2О2 О1О1

Развертка сферы I II III IV V VI VII VIII А1А1 В1В1 C1C1 D1D C0C0 D0D0 E0E0 F0F0 E1E1 F1F1 A0A0 B0B0 G1G1 H1H1 G0G0 H0H0 M2M2 M1M1 IV V M0M0

Пример выполнения задачи