Числовые последовательности Уроки 1 - 2

Цели урока: ввести понятие числовой последовательности; рассмотреть способы ее задания, свойства числовых последовательностей; решить задания на применение свойств числовых последовательностей.

Устный счет

1. Продолжите цепочку чисел: 1. 2, 5, 11, 23, 47,… 2. 1, 1, 2, 3, 5, … 3. 1, 2, 4, 8, 16, … 4. 1, 4, 9, 16, 25, 36,… 5. 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 22,…

2. Определить арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних чисел получено среднее, и вместо знака * вставить пропущенное число: ,3104,62,51043,60,94 1,7*4,43,1*37,2*0,8

3. Учащиеся решали задание, в котором требуется найти пропущенные числа. У них получились разные ответы. Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки. Задание Ответ 1Ответ

Изучение нового материала

Определение числовой последовательности Говорят, что задана числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-либо закону однозначно поставлено в соответствие определенное число (член последовательности). В общем виде указанное соответствие можно изобразить так: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, …, y n, … … n … Число n есть n-ый член последовательности. Всю последовательность обычно обозначают (y n ).

Определение числовой последовательности Функцию вида y=f(x),, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y=f(n) или y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, …, y n, … Иногда используют запись (y n ). Устно 581

Способы задания числовых последовательностей Словесный Аналитический Рекуррентный

Словесный способ задания числовых последовательностей Правило задания описано словами, без указания каких-либо формул. Например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…

Аналитический способ задания числовых последовательностей Последовательность задана аналитически, если указана формула n-ого члена. Например, 1) y n= n 2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – постоянная (стационарная) последовательность 2) y n= 2 n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, … Решить 585

Рекуррентный способ задания числовых последовательностей Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны ее предыдущие члены 1) арифметическая прогрессия задается рекуррентными соотношениями a 1 =a, a n+1 =a n + d 2) геометрическая прогрессия – b 1 =b, b n+1 =b n * q

Закрепление 591, 592 (a, б) 594, – 614 (a)

Свойства числовых последовательностей

Ограниченность сверху Последовательность (y n ) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n ) ограничена сверху, если существует такое число M что для любого n выполняется неравенство y n M. M – верхняя граница последовательности Например, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Ограниченность снизу Последовательность (y n ) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n ) ограничена сверху, если существует такое число m что для любого n выполняется неравенство y n m. m – нижняя граница последовательности Например, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Ограниченность последовательности Последовательность (y n ) называют ограниченной, если можно указать такие два числа A и B, между которыми лежат все члены последовательности. Выполняется неравенство Ay n B A – нижняя граница, B – верхняя граница Например, 1 – верхняя граница, 0 – нижняя граница

Геометрический признак ограниченности функции

Возрастающая последовательность Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего: y 1 < y 2 < y 3 < y 4 < y 5 < … < y n < … Например, 1, 3, 5, 7, …, 2n-1, … Решить 586

Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,

Возрастающие и убывающие последовательности объединяются одним общим термином – монотонные последовательности

Закрепление 602, 603 (устно) 605, 626, 627

Проверочная работа Вариант 1Вариант 2 1. Числовая последовательность задана формулой а) Вычислите первые четыре члена данной последовательности б) Является ли членом последовательности число ? б) Является ли членом последовательности число 12,25? 2. Составьте формулу -ого члена последовательности 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…