Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Иcаак Ньютон 25 декабря марта июля ноября 1716, 2

Используя методы дифференциального исчисления английский астроном, математик Эдмон Галлей ещё в XVII веке предсказал возвращение кометы Галлея. (что, увы, было уже после его смерти). Комета действительно возвратилась, как было предсказано, и позже была названа в его честь. Комета Галлея вернется во внутреннюю Солнечную систему в следующий раз в 2061 году. В 1705 году Эдмонд Галлей предсказал, что комета, которую наблюдали в 1531, 1607 и 1682 годах, должна возвратиться в 1758 году 3

Найти производную функции Разминка 4

Критические точки- это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. 5

1 1 0 х у у х y=f(x) y=g(x) Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ, а поэтому производная в этих точках равна 0; Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или производная не существует, называются критическими. 6 Касательная в таких точках графика не существует, а поэтому производная в этих точках не существует.

Признак возрастания и убывания функции = 7

Дарбу (darboux) Жан Гастон ( , Ним, , Париж), французский математик. Член Парижской АН (1884), с 1900 непременный секретарь её; член-корреспондент Петербургской АН (1895). 8

Теорема Дарбу Точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивает область определения функции f на промежутки, в каждом из которых производная сохраняет постоянный знак. 9

f(x) f / (x) x На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено! y = f / (x) y x Найдем точки, в которых f / (x)=0 (это нули функции). + –– + +

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания Не верно! Верно! Не верно! Проверка (2) f(x) f / (x) 4 + – y = f / (x) y x + 1

12 x 0 y12 На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках

13 x 0 y1 12 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на

14 По графику производной функции определите промежутки возрастания и промежутки убывания функции Ответ: на 1

15 Укажите критические точки функции, используя график производной функции. Ответ: при

производная равна нулю (стационарные точки) критические точки производная не существует максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» перегиба знак не меняется максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» излома знак не меняется плавные линии угловатые линии точка 16

Достаточное условие существования экстремума функции: 1)Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х 0 – точка максимума функции f(x). 1) Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка минимума функции f(x). 3) Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет. 17

Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций.

Схема исследования функции 1. Найти область определения функции; 2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность; 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат; 4. Исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции; 5. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции; 6. Построить график функции. 19

x возрастает убывает Построить эскиз графика функции, зная, что y X Не существует maxmin

Образец выполнения работы. Оформление работы учеником. а) ; б) в) критические точки: - ; 1. г) по результатам исследования составляем таблицу: х -31 у / (х)+0–0+ у(х) - экстремум maxmin д) строим график функции: 1 3 х у

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b] Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) на промежутке [a;b], нужно 1. вычислить её значения f(a) и f(b) на концах данного промежутка 2. вычислить её значения в критических точках, принадлежащих этому промежутку 3. выбрать из них наибольшее и наименьшее. Записывают так: max f(x) и min f(x) [a;b] [a;b] 23