Использование понятия производной в экономике. Рассмотрим функциональную зависимость издержек производства о количества выпускаемой продукции. Обозначим: - количество выпускаемой продукции; - количество выпускаемой продукции; - издержки производства. - издержки производства.Тогда - прирост продукции; - прирост продукции; - приращение издержек производства. - приращение издержек производства.

Отношение определяет среднее приращение издержек производства. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.).

Производная скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительного другого исследуемого фактора. Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом в условиях монопольного и конкурентного рынков. Обозначим: - суммарный доход от реализации продукции; - цена единицы продукции; - количество продукции. Тогда В условия монопольного рынка, цена контролируется одной или несколькими фирмами и с увеличением цены спрос падает.

С увеличением цены спрос на продукцию падает по линейному закону: - кривая спроса линейно убывающая функция; Суммарный доход от реализованной продукции Средний доход на единицу продукции; Предельный (дополнительный) доход от реализации дополнительной продукции.

В условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода. В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене. Тогда - рыночная цена; - суммарный доход; - средний доход; - предельный доход.

Для исследования экономических процессов используют понятие эластичности функции. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при стремлении последнего к нулю. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на один процент..

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления. Например, как коэффициент, определяющий насколько процентов изменится спрос, при изменении цены на один процент. - спрос эластичный; - спрос неэластичный: - спрос с единичной эластичностью.

Рассмотрим влияние эластичности спроса относительно цены на суммарный доход. Предположим, что кривая спроса имеет произвольный вид, тогда предельный доход равен: Учитывая что получим

Если спрос неэластичен, предельный доход отрицателен при любой цене; если спрос эластичен, то предельный доход положителен. Для неэластичного спроса изменение цены и предельного дохода происходят в одном направлении, а для эластичного спроса – в разных. С возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – уменьшается.

Задача. Объем продукции, произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением: Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Производительность труда равна производной функции, определяющей объем продукции

Скорость изменения производительности равна: Темп изменения производительности равен: Определив производительность в разное время рабочего дня, можно сделать вывод о снижении или увеличении объемов производства.

Изменение знака скорости производительности и темпа изменения производительности позволяет провести следующие расчеты: -определить время начала снижения производительности и соответственно время снижения объема выпускаемой продукции; -определить время наибольшей производительности (max); -определить время наименьшей производительности (min).

Задача. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукции задается функцией: Определить средние и предельные издержки при объеме продукции n ед. Решение. Функция средних издержек на единицу продукции при x = n равна Функция предельных издержек при x = n издержек равна

Дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном объеме производства определяю по формуле Задача. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукции выражается функцией (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение. Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением Функция предельных издержек выражается производной; Предельные издержки при х = 10 составят Дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном объеме производства равны 45 – 35 =10.

Задача. Считая известным зависимость между себестоимостью продукции и выпуском продукции, определить эластичность себестоимости. Решение. Зависимость себестоимости продукции от выпуска продукции как правило носит линейный характер Эластичность определяется по формуле Определяют эластичность при заданном объеме выпуска продукции x = n (руб.). Увеличение выпуска продукции на 1% приведет к увеличению (снижению) себестоимости на

Задача. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс. руб.) и выпуском продукции (млн. руб.) выражается функцией. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб. При выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение выпуска на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%. Замечание. Увеличение выпуска продукции на 1% приведет к увеличению себестоимости при и к снижению себестоимости при на

Задача. Опытным путем установлены функции спроса и предложения: где q - количество покупаемого товара; s – количество продаваемого товара. Определена равновесная цена р = 2. Найти эластичность спроса и предложения для равновесной цены. Эластичность по спросу определяется по формуле

Эластичность по предложению определяется по формуле Для данной задачи

Полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1. Следовательно, спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. При увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3% (эластичность по спросу отрицательна), а предложение увеличится на 0,8% (эластичность по предложению положительна).

Задача. Производитель реализует свою продукцию по цене р за единицу, а издержки при этом задаются кубической зависимостью Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль. Решение. Обозначают х – объем выпускаемой продукции; рх – доход от реализуемой продукции. 1. Составляют функцию прибыли 2. Находят

3. Определяют значения аргумента при которых производная обращается в ноль 4. Находят вторую производную 5. Определяют знак второй производной в критической точке не рассматривается по смыслу задачи

Если вторая производная в критической точке отрицательна, то это точка максимума Если вторая производная в критической точке положительна, то это точка минимума 5. Находят максимум (минимум) функции, т.е. максимальный (минимальный) размер прибыли прибыль максимальна при прибыль минимальна при

Задача. Капитал в 1 млн. рублей может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке? Решение. Обозначим х - (млн. руб.) инвестируется в производство, а ( 1-х ) - размещается под проценты. Тогда размещенный капитал через год станет равным

Капитал, вложенный в производство через год станет равным Издержки Прибыль от вложения в производство Налоги составят Чистая прибыль равна

Из условия равенства нулю первой производной, найдем значение критической точки Найдем вторую производную Согласно второму достаточному условию экстремума если вторая производная отрицательна, то х 0 точка максимума.

Общая сумма через год составит: Для определения наиболее эффективного вложения капитала, необходимо исследовать полученную зависимость на экстремум, то есть найти максимальное значение этой функции на отрезке [0, 1].

Значение х 0 принадлежит отрезку [0, 1] Таким образом, если прибыль облагается налогом р > 25%, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. из этого неравенства

Если p < 25%, то можно показать, что при x = x 0 Следовательно, вложение в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты.