Преподаватель: Петренко Валентина Ивановна Выполнили: Колесникова Анна Фомина Мария Тельных Анна

Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Длинная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Инженер и архитектор Дезарг в 1630 г. впервые разработал основы математической теории перспективы. Своими трудами он положил начало изучению перспективных преобразований, под которыми в последствии стали понимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредствам центрального проектирования или ряда последовательных проектирований.

* Растущие потребности технического прогресса требовали научной разработки теории преобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливых людей. Большой вклад в дело исследования взаимно однозначного соответствия на плоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус ( ). Позже Ф. Клейн ( ) положил различные группы преобразований в основу классификаций различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований), проективной (группа проективных преобразований) и т. д. Частным случаем аффинного преобразования является ппреобразование подобия, в котором растяжение или сжатие происходит равномерно, т. е. одинаково вдоль каждой координатной оси.

* Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. Учение о подобие фигур на основе теории отношении и пропорции было создано в Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами Гиппократа Хеосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. * Символ обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая буква в слове similes, что в переводе означает подобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурных чертежей различных деталей машин и механизмов.

* Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I ( до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

Теорема 11.1 ГОМОТЕТИЯ ЕСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ.

*С*С войства *П*П одобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя. *П*П одобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками. *Т*Т очки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой. *П*П одобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность. *П*П ри подобии угол сохраняет величину. *П*П одобие с коэффициентом, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом. *К*К аждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом. *П*П одобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное изменяет ориентацию на противоположную. *Д*Д ва треугольника являются подобными, если их соответственные углы равны, или стороны пропорциональны. * П лощади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов). преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

ЕСЛИ ФИГУРА F1 ПОДОБНА ФИГУРЕ F2, А ФИГУРА F2 ПОДОБНА ФИГУРЕ F3, ТО ФИГУРЫ F1 И F3 ПОДОБНЫ.

* Пусть точки X1 и Y1 – две произвольные точки фигуры F1. При преобразовании подобия, фигура F1 переходит в фигуру F2, при этом точки X1 и Y1 переходят в X2 и Y2 так, что X2Y2 = k1*X1Y1 * Соответственно ппреобразование подобия переводит фигуру F2 в F3 и X3Y3 = k2*X2Y2. * Следовательно, X3Y3 = k2*X2Y2=k2*k1*X1Y1. * Как видно, что ппреобразование фигуры F1 в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Значит фигуры F1 и F3 подобны. Теорема доказана.

* Теорема 11.2 ЕСЛИ ДВА УГЛА ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ ДВУМ УГЛАМ ДГУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.

Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 CAB = C1A1B1, ABC = A1B1C1. Докажем, что Δ ABC подобен Δ A1B1C1. Пусть k = AB:A1B1. Подвергнем Δ A1B1C1 гомотетии с коэффициентом k. Получится некоторый Δ A2B2C2. Δ A2B2C2 = Δ ABC по второму признаку равенства треугольников ( C2A2B2 = C1A1B1 = CAB, A2B2C2 = A1B1C1 = ABC так как ппреобразование подобия сохраняет углы, A2B2 = kA1B1 = AB, по условию). Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 гомотетичны, следовательно подобны. Δ A2B2C2 = Δ ABC, следовательно подобны тоже, а значит треугольники A1B1C1 и ABC подобны. Теорема доказана.

* Теорема 11.3 ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ДВУМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА И УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ЭТИМИ СТОРОНАМИ, РАВНЫ, ТО ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.

*П*П ризнак подобия треугольников по трём сторонам

* Теорема 11.2 Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

* Для подобных прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. * Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

* Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. * Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

* Что такое ппреобразование подобия? * Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)? * Докажите, что гомотетия есть ппреобразование подобия. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что ппреобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. * Какие фигуры называются подобными? * Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников? * Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам. * Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. * Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

* Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. * Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. * Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.