П РОЦЕНТЫ И ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

П РОЦЕНТ – (от лат. per cent – на сотню) сотые доли чего-либо по отношению к целому В Древнем Риме – Октавиан Август взимал налог в размере 1/100 на товары Обозначение – первоначально в Средние века обозначали « cto » – Матье де ла Порта «Руководство по коммерческой арифметике» (1685) – наборщик напечатал « % » В России – в Смутное время (привязка чеканки монет к 1 из 100 – рубль из 100 копеек); – ввел в обиход понятие – Петр Первый

П РОЦЕНТ « от какой величины считаем »: Гель для душа раньше продавался в бутылках по 750 мл, теперь же – в бутылках по 1000 мл по той же цене. Сколько процентов вы получаете в подарок? Ответ: либо ( )/750*100% = 33%, либо ( )/1000*100% = 25%.

П РОЦЕНТ « от какой величины считаем »: Объем продаж в прошлом году составил 10 миллионов евро. Цель на текущий год – увеличение объема продаж на 6%. Объем продаж в нынешнем году составил 10,3 миллиона евро. На сколько процентов продавец выполнил намеченную цель? Ответ: если цель – рост продаж – то на 50% (0,3 от 0,6), объем продаж – то на 97,2% (10,3 от 10,6).

П РОЦЕНТ « операции с процентами »: Если цена товара увеличилась на 20%, а затем снизилась на 20%, то каким будет соотношение начальной и конечной цены? Цена снизилась на 4%. Если Иван зарабатывает на 1000% больше Петра, то он получает в 11 раз больше.

П АРАДОКС С ИМПСОНА Крупная компания открывает новый завод и создает 250 рабочих мест в службе продаж, монтажа и в складской службе. На рабочие места претендовали 355 мужчин и 325 женщин. Работу получили 190 мужчин (53,5% от претендентов) и 60 женщин (18,5%). Уровень подготовки мужчин и женщин был абсолютно одинаков. Можно ли утверждать, что имеет место дискриминация женщин при приеме на работу?

П АРАДОКС С ИМПСОНА Исходные данные и расчеты: Служба Рабочие места Кандидаты Принято на работу% принятых на работу Мужчины ЖенщиныМужчины ЖенщиныМужчины Женщины Продажи Монтаж Склад ИТОГО ,518,5

П АРАДОКС С ИМПСОНА Исходные данные и расчеты: В действительности процент принятых на работу (от количества претендентов) в каждом отделе выше среди женщин. Служба Рабочие места Кандидаты Принято на работу% принятых на работу Мужчины ЖенщиныМужчины ЖенщиныМужчины Женщины Продажи Монтаж Склад ,257,5 ИТОГО ,518,5

П РОЦЕНТЫ В ФИНАНСОВОЙ СФЕРЕ – ИСТОРИЯ ДЕНЕГ – обмен излишками между семьями – некоторые товары становились «базовыми» при обмене – изображения «базовых» товаров на табличках, монетах – первые банкиры – определение стоимости драгоценных монет по весу у ювелиров – хранение монет и выдача расписок – выдача хранимых денег в долг другим людям за плату

П РОЦЕНТЫ В ФИНАНСОВОЙ СФЕРЕ – КАПИТАЛ И ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА В экономике : Капитал – фактор производства – совокупность вложений владельца предприятия в оборудование или производство. В финансовой сфере : Капитал – это сумма денег, – размещенных на банковских вкладах с определенной доходностью ; – выдаваемых в виде займов за определенную плату. Доходность или плата – процентная ставка

М АТЕМАТИКА Степень – многократное умножение числа на самого себя. ( ab ) n = a n b n a n a m = a n+m a n / a m = a nm ( a n ) m = a nm Решением уравнения a x = b ( a > 0, a 1) называется логарифм числа b по основанию a : log a ( b ). log a 1 = 0 log a a = 1 log a ( x*y ) = log a x + log a y log a ( x/y ) = log a x – log a y log a x p = p log a x log a x = ( log b x )/( log b a ) Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10: lg a Натуральный логарифм – логарифм по основанию e (число Эйлера e = 2,71828…): ln a

М АТЕМАТИКА Геометрическая прогрессия – последовательность чисел b 1, b 2, b 3, … ( членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q ( знаменатель прогрессии): b 1, b 2 = b 1 q, b 3 = b 2 q = b 1 q 2, …, b n = b n –1 q = b 1 q n –1 Сумма n членов прогрессии: n q n – 1 S n = Σ b i = b 1 ––––––– i =1 q – 1 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (0 < q < 1): b 1 S n –––––––– 1 – q

П РОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ Запрашиваем у банка кредит на сумму C 0 на срок n лет под i % годовых. В конце срока выплачиваем сам кредит и ежегодно выплачиваем i % от суммы кредита C 0 (это плата за пользование кредитом). Суммарный объем выплат составит: C n = C 0 + n i C 0 = C 0 (1 + n i )

С ЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ Делаем вклад в банке на сумму C 0 на срок n лет под i % годовых. Хотим, чтобы ежегодно начисляемые проценты прибавлялись к вкладу и на них также начислялись проценты – капитализация процентов. К концу первого года на счете: C 1 = C 0 + i C 0 = C 0 (1 + i ) После второго года: C 2 = C 1 + i C 1 = C 1 (1 + i ) = C 0 (1 + i ) 2 По итогам n лет: C n = C 0 (1 + i ) n

Э ФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА Рассмотрим несколько вкладов на разные сроки под разные проценты. Как определить – какой выбрать? Эффективная ставка процента (эквивалентная годовая процентная ставка) – оценивает финансовую операцию годовой ставкой сложных процентов r ef, дающей то же соотношение между начальной и итоговой суммой вклада, которая получена при любой схеме выплат.

Э ФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА Делаем вклад в банке на сумму C 0 на срок n лет под i % годовых с начислением процентов m раз в году. Итоговая сумма вклада: Эффективную годовую ставку вычислим из: C n = C 0 (1 + r ef ) n Получаем:

С РОКИ ВКЛАДОВ Делаем вклад в банке на сумму C 0 на срок n лет под i % годовых. На какой срок необходимо сделать вклад, чтобы первоначальная сумма удвоилась? За n лет итоговая сумма вклада составит: C n = C 0 (1 + i ) n Отсюда: lnC n = lnC 0 (1 + i ) n = lnC 0 + n ln (1 + i ) Получаем: lnC n – lnC 0 n = –––––––––––– ln (1 + i )

Д ЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И К РЕДИТЫ Принцип временной неравноценности денег : «равновеликие, но разновременные денежные суммы оцениваются по-разному» Приведение денег во времени – определение стоимости денежного потока в конкретный момент времени Наращивание – определение стоимости прошлых выплат в настоящий или будущий момент времени FV = C n = C 0 (1 + i ) n Дисконтирование – определение стоимости будущих выплат в прошлый или настоящий момент времени PV = C 0 = C n / (1 + i ) n

Д ЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И К РЕДИТЫ D – размер кредита n – срок кредита i – кредитная ставка (простая, сложная) Y t – размер погашающего платежа в году t Погашение кредита: Долг D Платеж Y 1 Y 2 Y 3 Y n -1 Y n Соотношение между платежами и долгом: Каждый платеж – это сумма платежа по основному долгу и процентов Y t = D t + I t

Д ЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И К РЕДИТЫ Варианты платежей: 1. Выплата процентов и долга в конце срока ( разовое погашение ) Y = D (1 + i ) n 2. Выплата долга в конце срока, процентов – в конце каждого периода Y 1 = Y 2 = … = Y n– 1 = i D Y n = D (1 + i ) 3. Выплата основного долга равными платежами D 1 = D 2 = … = D n– 1 = D n = D / n I 1 = i D, I 2 = i ( D – D/n ), …,, …, I n = i D/n

Д ЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И К РЕДИТЫ Варианты платежей: 4. Выплата кредита равными платежами Y 1 = Y 2 = … = Y n = Y Отсюда: i Y = D ––––––––––––– 1 – 1 / (1 + i ) n

Задача 1. Клиент положил в банк 10 тыс. руб. сроком на 1 год. Согласно депозитному договору годовая процентная ставка до середины второго квартала составляет 30%, далее до конца третьего квартала – 25%, с начала четвертого квартала – снова 30%. Какую сумму клиент получит в конце года, при условии, что договор предусматривает начисление а) по сложным процентам, б) по простым процентам. Ответ : а) 13080,57 руб.; б) 12812,5 руб.

Задача 2. Вкладчик внес в банк под определенный процент сумму 20 тыс. руб. Через год он снял со счета половину процентной прибавки, а основной вклад и оставшуюся прибавку оставил в банке. Через год у вкладчика на счету оказалось руб. Определите, какую процентную ставку использовал банк. Ответ : 20%.

Задача 3. Что выгоднее: вложить 20 тыс. руб. на 1 месяц под годовую ставку 12% или на 6 месяцев под ставку 12,2%? Ответ : Выгоднее на один месяц (эффективная ставка процента по первому варианту 12,68% больше, чем по второму 12,57%).

Задача 4. Пусть счет с начальной суммой U у.е. открывается под простую годовую ставку r в момент времени t = 0. Спустя L лет открывается счет с начальной суммой V y.e. ( V > U ) и с той же ставкой. Определить: а) момент времени t, когда накопленные суммы на обоих счетах сравняются; б) чему равен этот срок, если U = 100 у.е., V = 110 у.е., ставка r = 20%, а запаздывание L = 1 год. Ответ : а) ; б) срок равен 6 годам.

Задача 5. Компания по переработке древесины владеет лесоматериалом «на корню», стоимость которого в году t оценивается по формуле P ( t ) = 2 + 0,6 t. Годовая процентная ставка в рассматриваемый период времени при начислении сложных процентов равна i. Требуется: а) получить формулу оптимального года t для начала переработки лесоматериалов и их продажи в зависимости от ставки начисления i ; б) дать рекомендации по использованию лесного массива при условии, что ставка i = 0,1. Ответ : а) ; б) обрабатывать и продавать лесной массив через 7 лет.

Задача 6. У вас есть должник, которому необходимо сегодня отдать вам 2000 руб., но он просит отсрочить платеж ровно на год. Ставка банковского процента составляет 50% годовых. a) Не меньше какой суммы он должен вам предложить в качестве платежа на следующий год, чтобы вы согласились на отсрочку? b) Как изменится ответ задачи, если он просит отсрочить платеж на два года? Ответ : а) не менее 3000 руб.; б) не менее 4500 руб.

Задача 7. Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в сумме 100 тыс. руб. под простую ставку 14% годовых. Затем через 3, 6 и 9 месяцев он вложил еще по 10 тыс. руб. В конце года клиент закрыл счет. Какую сумму он получил при закрытии счета? Ответ : 146,1 тыс. руб.

Задача 8. Предприятие получило кредит 100 тыс. долл. под 10% годовых на 3 года. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно в конце года вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 11%. Найти расходы должника в случаях ежегодной выплаты процентов и единовременной выплаты процентов одновременно с основным долгом. Ответ : В первом варианте ежегодные проценты – 10 тыс. долл., ежегодные выплаты в фонд – ,44 долл. Общие расходы – ,31 долл. (в том числе проценты 30 тыс.). По второму варианту ежегодные выплаты в фонд – ,25 долл. При этом общие расходы – ,78 долл. (в том числе проценты долл.).

Задача 9. Предприятие договорилось с банком о замене трех платежей (8 000 со сроком 130 дней, со сроком 160 дней и со сроком 200 дней) на один платеж в 21 тыс. долл. Используемая ставка процента не изменилась и составляет 20% годовых. Начисление происходит по методу простых процентов. Определите, в какой момент времени предприятие должно произвести единый платеж (в году считать 365 дней). Ответ : Срок выплаты единого платежа – 66 дней.

Задача 10. Иванов должен выплатить Петрову 40 тыс. руб. Он предлагает заменить эту разовую выплату ежегодными платежами в начале каждого года по 10 тыс. руб. каждый. Сколько лет должен будет ждать Петров полного погашения долга со стороны Иванова, если на долг начисляются проценты по ставке 8% годовых? Ответ : 4 года.

Задача 11. Виктор Кузнецов рассматривает два варианта вложения денег. Первый: вносить на счет в банке 500 долл. каждые полгода под 7% годовых, начисляемых раз в полгода. Второй: вносить на счет в банке 1000 долл. под 7,5% годовых, выплачиваемых раз в год. Первый вклад по первому варианту может быть сделан через 6 месяцев, по второму – через год. Определить: а) какой план следует избрать Виктору, если его заботит только стоимость вложений через 10 лет; б) изменили бы вы свой совет при изменении ставки второго варианта до 7%? Ответ : а) предпочтительней второй вариант; б) становится предпочтительным первый вариант.

Задача 12. Робинзону надоело добывать себе пропитание голыми руками, и он знает, как изготовить сеть для ловли рыбы. На это Робинзону потребуется 30 дней. Но кушать рыбу хочется каждый день. Вручную Робинзон ловит две рыбы в день и съедает. С помощью сети Робинзон мог бы ловить пять рыб в день, три из которых он бы засушивал и таким образом высвобождал бы время для других занятий. Пятница предложил Робинзону кредит в виде 60 сушеных рыб и требует вернуть долг через 60 дней с процентами. Какой максимальный процент может получить Пятница (за весь срок пользования кредитом)? Ответ : 50%.