Численные методы линейной алгебры. Методы решений нелинейных уравнений и систем. Лекция 3:

К численным методам линейной алгебры относятся численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращение матриц, вычисление определителей, нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяются на две группы: Точные или прямые методы, которые позволяют найти решение системы линейных алгебраических уравнений за конечное число арифметических действий. Сюда относятся метод Крамера (нахождение решения систем с помощью определителей), метод Гаусса, метод прогонки. Приближенные методы. В частности итерационные методы решения систем алгебраических уравнений. Правило Крамера в вычислительной математике с использованием ЭВМ не применяется, т.к. оно требует использования большого числа операций и объемов памяти. Метод Гаусса используется для решения СЛАУ размерности. Итерационными методами решаются системы размерностью. Методом прогонки решаются системы линейных алгебраических уравнений специального вида, содержащие трехдиагональные матрицы.

П.1 Метод простой итерации. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений n – го порядка, записанную в виде: (3.1), где - квадратичная числовая матрица n – порядка. - n – мерный вектор, неизвестная величина, которую требуется найти. - n – мерный вектор (известный, заданный столбец свободных членов). Задав начальное приближение, итерационный процесс нахождения приближенного решения (3.1) сформулируем следующим образом: (3.2) Выясним, при каких условиях на матрицу, решение найденное по методу простой итерации будет сходиться к решению задачи (3.1).

Практическая схема решения СЛАУ методом простой итерации Рассмотрим для простоты систему, состоящую из трёх уравнений с тремя неизвестными: 1). Преобразуем эту систему к системе вида: (3.3) где (3.4)

Этого можно добиться: 1) переставляя столбцы исходной системы; 2) меняя строки; 3) делая линейную комбинацию из строк. 2) из первого уравнения (3.3) выразим ; из второго уравнения (3.3) выразим ; из третьего уравнения (3.3) выразим ; Получим: Правая часть этой системы имеет нормальную матрицу

Учитывая (3.4) и обозначив через – точное решение, а через – n – тую итерацию, будем иметь Найдя с помощью вышеуказанного равенства, а также, выясним при каком номере N будет выполняться неравенство: Метод нахождения на n – й итерации имеет вид: В процессе выполнения этого итерационного процесса, на каждом шаге находим разность. Когда выполнение итерационного процесса прекращаем, решение найдено с заданной точностью.

3) На практике часто используется итерационный процесс Гаусса – Зейделя, который имеет вид: (3.5) Выясним при каких условиях сходится метод Гаусса – Зейделя. Теорема 3.1: Для того, чтобы решение по методу Гаусса – Зейделя существовало и было единственно, и для того, чтобы итерационный процесс (3.5) сходился, достаточно выполнение условий (3.4).

Методы решений нелинейных уравнений и систем п.1 Задача отделения корней Пусть требуется решить уравнение с одной неизвестной:, где - заданная функция. Задача определения корней для уравнения (3.6) f(x)=0 состоит в определении отрезков, которые содержат один и только один корень этого уравнения. Теорема 3.2: Пусть ф., f(a)f(b)

П.2. Метод Ньютона (метод касательных ) Пусть, f(a) f(b)

п.3. Метод хорд (метод секущих) П о методу хорд (k+1)е приближение решения находится с помощью равенства:

П.4 Комбинированный метод При использовании методов Ньютона и секущих мы приближаемся к точному решению с одной стороны. Комбинированный способ состоит в попеременном применении метода Ньютона и секущих, тогда приближение идет с двух сторон. При комбинированном методе приближение начинают делать с метода касательных. Точность вычислений. Пусть требуется решать уравнение (3.6) с точностью ε. ε= При использовании комбинированного метода точность приближения определяется формулой В качестве корня выбирается:

п.5. Метод итераций Пусть требуется решить уравнение (3.7), которое может не иметь решения, иметь одно решение или иметь бесконечное множество решений. Сформулируем теорему, которая дает достаточное условие, при котором это уравнение имеет единственное решение и укажем итерационный процесс для нахождения приближенного решения этого уравнения. Определение 3.1: Будем говорить, что ф. f(x) на [a,b] удовлетворяет условию Липшица с постоянной α, если будет справедливо неравенство: (3.8) Теорема 3.3: ] ф. на удовлетворяет условию Липшица с постоянной, тогда уравнение имеет единственное решение, причем, где, при этом имеют место оценки:

Литература Е. А. Волков Численные методы, М. Наука, 1987 ( либо последующие издания ): & 4-12, 15, 19-22, 24,25,