лекция 3 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Медицинская кибернетика к.б.н., доцент Попельницкая И.М. Красноярск, 2014 Тема: Непрерывность функции. Кафедра медицинской и биологической физики

План лекции 1.Введение. 2. Непрерывность функции. 3. Классификация точек разрыва функции. 4.Заключение

Введение Понятие непрерывности имеет большое значение при анализе характера изменения величин, связанных функциональной зависимостью. При анализе функций, в некоторых случаях необходимо определить точки разрыва и оценить возможность их устранения.

Непрерывность функции Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х 0 – предельная точка множества Е. Функция f(x) называется непрерывной в точке х 0, если: 1. Она определена в точке х 0 2. Существует конечный предел функции при х х Этот предел равен значению функции в точке х 0.

Основные элементарные функции непрерывны

Функцию f ( x ) называют непрерывной на отрезке [ a ; b ], если она непрерывна в каждой точке интервала ( a ; b ) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Теорема Вейерштрасса. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [ a ; b ] имеется хотя бы один нуль функции f(х). При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Свойства функций, непрерывных в точке Если функция f(х) непрерывна в точке a, то она ограничена в некоторой окрестности точки a. Если функция f(x) непрерывна в точке a, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a). Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) непрерывны в точке a.

Разрыв функции Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой этой точки. Точка a называется точкой разрыва, если функция: 1)либо не определена в точке a; 2)либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Причины разрыва функции: функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы

Причины разрыва функции: функция не определена в данной точке.

Точки разрыва функции: Точка устранимого разрыва; Точка разрыва первого рода; Точка разрыва второго рода.

Точки разрыва функции: Точка а является точкой устранимого разрыва, если функция в точке не определена и существуют равные конечные пределы и, То есть.

Точки разрыва функции: Точка а является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы и, т.е. выполняется второе условие непрерывности и не выполняются остальные условия или хотя бы одно из них.

Точки разрыва функции: Точка а является точкой разрыва второго рода, если один из пределов или равен бесконечности ( ).

заключение На лекции мы познакомились с причинами разрыва функции и оценкой разрывов различного рода.

Задание для уяснения темы 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х 0, если: 1)функция определена в точке х 0 и в ее некоторой окрестности; 2)предел приращения функции равен нулю при стремлении аргумента к нулю 3)

Литература Обязательная 1. Богомолов Н.В. Математика. Учебник М.: Юрайт, с. 2. Богомолов Н.В. Практические занятие по математике: учеб. пособие. М.: Юрайт, с Дополнительная 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие. М.: Астрель, Щипачев В.С.Высшая математика. Учебник М.: Оникс Виленкин И.В.Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учебное пособие Ростов-на-Дону Феникс 2008 Электронные ресурсы: 1. Электронная библиотека Absotheue 2. БД Медицина 3. БД Мед Арт 4. Ресурсы Интернет

Благодарю за внимание!