Тема: «Признаки делимости»..

Введение. При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость.

Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

ГИПОТЕЗА: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Признаки делимости - правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление.

Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.

В III веке до нашей эры александрийский ученный Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284= ; 220= ), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Выдающиеся математики, занимающиеся признаками делимости. Леонардо Фибоначчи Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

Блез Паскаль. Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль ( ) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признак Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число делится на 7, т.к. 2·6 + 8 ·2 + 1 ·3 +4 = 35, 35:7=5 (где 6 – остаток от деления 1000 на 7; 2 - остаток от деления 100 на 7, 3 - остаток от деления 10 на 7)

Из школьного учебника. Признаки делимости На 2. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 На 3 (9). Если сумма цифр числа делится на 3 (9). На 5. Если число оканчивается на 0, 5. На 10. Если число оканчивается на 0

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1 группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 37, на 11 (1 признак). 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на 14.

Признаки делимости чисел Признаки делимости на 4. Число делится на 4 если 2 последние его цифры делятся на делится на 4, т.к. 56 : 4 = 14 Признак делимости на 8. Число делится на 8 три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на делится на 8, т.к. 952 : 8 = 119

Признаки делимости на 25. Число делится на 25 число образованное его последними двумя цифрами делится на делится на 25, т.к. 75 делится на 25 Признаки делимости на 125. Число делится на 125 число образованное его последними тремя цифрами делится на делится на 125, т.к. 250 : 125 = 2

Признак делимости на 7. Число делится на 7 результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на делится на 7, т.к. 36 – (2·4) = 28, 28 : 7 = 4 Признак делимости на 13. Число делится на 13 число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно делится на 13, т.к (4 ·5) = 104, 104 : 13 = 8

Признаки делимости на способ. Число делится на 17 число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно делится на 17, т.к (3·12) = 2941; (1·12) = 306; 30 + (6·12) = 102; 10 + (2·12) = 34, 34 : 17 = 2 2 способ. Число делится на 17 разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна не делится на 17, т.к – (2·5) = 3285, 328 – ( 5·5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3·5) = 15, 15 не делится на 17.

Признак делимости на 19. Число делится на 19 число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно делится на 19, т.к (2·6) = 76, 76 : 19 = 4 Признак делимости на 23. Число делится на 23 число его сотен, сложенное с утроенным числом единиц, кратно делится на 23, т.к (3· 42) = 414; 4 + (3·14) = 46, 46 : 23 = 2

Признак делимости на 11. Число делится на 11 сумма цифр с чередующимися знаками делится на делится на 11, т.к =11, 11:11=1 Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Эта сумма делится на 99 само число делится на делится на 99, т.к = 198, 198 : 99 = 2

Признак делимости на 101. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками. Эта сумма делится на 101 само число делится на делится на 101, т.к. 59 – = 101, 101 :101 =1

Другие признаки делимости, следующие из двух признаков Признак делимости на 6. Число делится на 6 оно делится и на 2, и на 3. (456) Признак делимости на 12. Число делится на 12 оно делится и на 3, и на 4. ( ) Признак делимости на 14. Число делится на 14 оно делится и на 2, и на 7. (364) Признак делимости на 15. Число делится на 15 оно делится и на 3, и на 5. (8 445)

Применение признаков делимости Задача 1: (Использование общих делителей и НОД) Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = Но учебников не может быть 29. Также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников. Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Я рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Задача 1. Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа "в уме". Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое- нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. "1210", немедленно выпалил Незнайка. "Ты неправ!" сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа? Решение. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11, поскольку среди делителей числа 1210 дважды встречается простое число 11. Ответ. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11.

Задача 2. делится ли 3905 на 11. Решение. Цифры, которые стоят на нечетных местах - это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьим месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте) Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, неравна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на = 11. Ответ. Значит, 3905 делится на 11.

Задача 3. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь. Ответ. Только на 7.

Заключение. В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000…, чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы я нашла и решила задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: - вывод признаков делимости, используя метод остатков; - существуют ли еще признаки делимости, для исследования которых у меня не хватает пока знаний?

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!