Точные и приближенные числа

Абсолютная погрешность а х Абсолютная погрешность округления а х – это модуль разности между точным и приближенным значением числа: = |а – х| точное приближенное Пример. = 3, ,14 = |3, … – 3,14| = 0, …

Граница абсолютной погрешности приближения а х – положительное число h, больше которого абсолютная погрешность быть не может: h Пример. = 0, … 0,002; h = 0,002 a = x ha [x – h; x + h] = 3,14 0,002 [3,14 – 0,002; 3,14 + 0,002] [3,138; 3,142] Приближенное значение а можно записать в виде:

Относительная погрешность Относительная погрешность округления а х – это отношение абсолютной погрешности к модулю числа: или Относительную погрешность удобно выражать в процентах. Для этого ее нужно умножить на 100%.

Граница относительной погрешности приближения а х – число Е, больше которого относительная погрешность быть не может: ω h

1. При измерении длины и диаметра провода получили: l = 50 0,1 ммd = 2 0,1 мм Вычислить относительные погрешности измерений. Что измерено точнее? = 0,002 = 0,2% = 0,05 = 5% - точнее

2. При измерении длины одного отрезка с точностью до 5 м получено 23,37 км, а при измерении длины другого отрезка с точностью до 0,5 см получено 3 м. Какое измерение по своему качеству лучше?

3. Вычислить, округлить до сотых и сравнить, какое округление точнее: и 1 = 0,33333…– 0,33 = 0,00333… 0,004 = h 1 = 0,012… 0,02 2 = 5, …– 5,48 = 0, … 0,003 = h 2 = 0,000547… 0,0006 E 1 2-е округление точнее

4. и- до тысячных 5. и- до сотых

Вычисления с учетом погрешностей 1. При сложении и вычитании приближенных чисел их абсолютные погрешности складываются 2. При умножении и делении приближенных чисел их относительные погрешности складываются h a+b = h a + h b ; h a–b = h a + h b Е ab = Е a + Е b ; Е a / b = Е a + Е b

1. Для сторон прямоугольника найдены приближенные значения: а = 10 0,1 mb = 100 0,5 м 1) Найти периметр и его погрешности Р = а + b + a + b = 0,005= 5% = 220 м h Р = h а + h b + h a + h b = 0,1+ 0,5+ 0,1+ 0,5= 1,2 м Р = 220 1,2 м

а = 10 0,1 mb = 100 0,5 м 2) Найти площадь и ее погрешности S = а b = 1000 м E S = E а + E b S = м 2 = 0,01 = 0,005 E S = 0,01+ 0,005 = 0,015 h S = E S S= 0, = 15 м 2

2. 2. а = 2,56 0,005 mb = 1,2 0,02 м 3. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел: а = 25,74 0,2b = 96,42 0,3

hE a + b a – b a b a / b a 2 a n

hE a + bh a + h b a – bh a + h b a b|b|h a + |a|h b Е a + Е b a / be a + Е b a 2 2ah a 2Еa2Еa a n n a n-1h a nЕ a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Вычисления с наперед заданной точностью Задача 1. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы при вычислении площади абсолютная погрешность не превышала 1 см 2 ? Грубое приближенное значение длины стороны - 9 см. S = a 2 h S = 2ah a a 9 см; h S = 1 см 2. Решение Дано: h а = ? = 0, ,05 см если измерить сторону с погрешностью не более 0,5 мм, то погрешность площади не превысит 1 см 2

Задача 2. С какой точностью надо измерить ребро куба, чтобы при вычислении объема абсолютная погрешность не превышала 100 см 3 ? Грубое приближенное значение длины стороны - 80 см. S = a 2 h S = 2ah a a 80 см; h V =100 см 3 Решение Дано: h а = ? = 0, ,05 см если измерить сторону с погрешностью не более 0,5 мм, то погрешность площади не превысит 1 см 2

Задача 3. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы при вычислении площади относительная погрешность не превышала 0,3%? Грубое приближенное значение длины стороны - 6 см.