Ребята, мы с вами умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня, мы с вами будем изучать операцию, в некотором смысле, обратную к вычислению производной. Производная применяется во многих ситуациях в реальной жизни, мы помним производная – скорость изменения функции в конкретной точке, то есть процессы, связанные с движением и скоростью хорошо описываются в этих терминах. Давайте рассмотрим вот такую задачу: Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой V=gt. Требуется восстановить закон движения. Мы хорошо знаем формулу: где S- закон движения. То есть, наша задача сводится к поиску функции S=S(t), что ее производная равна gt. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что

Давайте проверим сами себя, что является полезным и не стоит забывать проверять правильно ли мы решили конкретную задачу В этой задаче, зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполняли обратную операцию. Но стоит обратить внимание вот на такой момент: Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число – константу, то значение производной не изменится

Получается, наша задача имеет бесконечное множество решений, ребята обратите внимание! Если в задаче не задано начальное или какое-то особое условие не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения, тогда вычислить константу не представляет трудностей, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы, подробнее рассмотрим примеры позже. Как же называется такая операция? Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием. Нахождение функции по заданной производной – интегрирование. Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.

Первообразную принято записывать большой буквой Определение. Функцию y=F(x) называется первообразной функции у=f(x) на промежутке Х, если для любого хХ выполняется равенство F(x)=f(x). Давайте составим таблицу первообразных для различных функции, ее можно распечатать в качестве памятки и постепенно выучить.

В нашей таблице никаких начальных условий задано не было, тогда, по хорошему, к каждому выражению в правой части таблицы следует прибавить константу. Чуть позже мы уточним это правило. Давайте запишем несколько правил, которые нам хорошо помогут при нахождении первообразных, все они очень похожи на правила дифференцирования. Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Пример. Найти первообразную для функции Решение. Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда нам просто надо найти первообразную для каждой из представленных функций. Тогда первообразной исходной функции будет:

Правило 2. Если F(x) – первообразная для f(x), то k·F(x) – первообразная для функции k·f(x) (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию) Пример. Найти первообразные функций: а) б) в) Решение. а) Первообразной для sin(x) служит минус cos(x), тогда первообразная исходной функции примет вид: б) Первообразной для cos(x) служит sin(x), тогда первообразная исходной функции примет вид: в)Первообразной для служит ; Первообразной для x служит ; Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид:

Правило 3. Если у=F(x) - первообразная для функции y=f(x), то первообразная для функции y=f(kx+m) служит функция Пример. Найти первообразные следующих функций а)б) Решение. а) Первообразной для cos(x) служит sin(x), тогда первообразная для функции y=cos(7x) будет функция б) Первообразной для sin(x) служит минус cos(x), тогда первообразная для функции будет функция

Пример. Найти первообразные следующих функций а)б) Решение. а) Первообразной для служит, тогда первообразная исходной функции б) Слегка упростим выражение в степени Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет

Пример. Найти первообразные следующих функций а)б) Решение. а) Первообразной для служит, тогда первообразная исходной функции б) Слегка упростим выражение в степени Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет

Теорема. Если у=F(x) - первообразная для функции y=f(x), на промежутке Х, то у функции y=f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид у=F(x)+С. То есть во всех примерах, что мы рассматривали выше, требовалось найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С. Для функции все первообразные имеют вид

Пример. По заданному закону изменения скорости тела от времени найти закон движения S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75. Решение. Так как v=S(t), нам надо найти первообразную для заданной скорости В этой задаче над дано дополнительное (начальное) условие, начальный момент времени значит что t=0 Тогда закон движения описывается формулой:

Задачи для самостоятельного решения. 1. Найти первообразные функций: а) б) в) 2. Найти первообразные следующих функций а) б) в) г) 3. По заданному закону изменения скорости тела от времени найти закон движения S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную По заданному закону изменения скорости тела от времени найти закон движения S=S(t), если момент времени t=1 тело имело координату равную 3.