Проект по математике Руководитель проекта: учитель математики Пласкунова Надежда Анатольевна Выполнил: ученик 10 А класса Чуриков Сергей Юрьевич

Выполнил: ученик 10 А класса Чуриков Сергей Юрьевич Руководитель проекта: учитель математики Пласкунова Надежда Анатольевна

Много веков геометрия во всех своих основах казалась наукой, совершенно застывшей в ее древних эллинских формах. Ученых всех времен интересовало доказательство или опровержение V постулата Евклида, одного из основных для его геометрии. В XIX веке Николай Иванович Лобачевский одним из первых доказал возможность существования геометрии, отличной от Евклидовой. Его идеи привели к широкой и многообразной эволюции геометрии. Изучение этой геометрии способствует лучшему пониманию законов физического пространства, т.к. геометрия Евклида описывает пространство приближенное, идеальное. Геометрия Лобачевского более точная, она учитывает кривизну пространства-времени. В школе мы изучаем геометрию Евклида. А живем мы в какой геометрии? Неевклидова геометрия - это другая геометрия, отрицающая Евклидову? Как новые геометрические идеи повлияли на развитие естествознания? Как развиваются неевклидовы геометрии? Исследованию этих вопросов посвящен этот проект. В процессе работы были рассмотрены основные положения геометрии Лобачевского, доказана её непротиворечивость, рассмотрены сферы её применения в реальной жизни. Для освещения основных положений изучалась специальная литература, для доказательства противоречивости рассмотрены простейшие модели, на которых справедлива геометрия Лобачевского.

Геометрия- одна из древнейших наук. Её возникновение связано с практическими занятиями человека.

Основные принципы дедуктивного построения науки впервые были сформулированы Аристотелем. Он считал, что доказывая то или иное утверждение, необходимо опираться на ранее доказанные. Из этого следует, что существуют утверждения, с которых начинается построение науки. Такие утверждения называются аксиомами и не требуют доказательств.

Основываясь на этих утверждениях, Евклид создал свой труд «Начала», в котором привел основные аксиомы и постулаты.

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Через точку P, не лежащую на данной прямой R, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского.

Сумма углов всякого треугольника меньше pi и может быть сколь угодно близкой к нулю.

Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Но эта модель является локальной интерпретацией геометрии, неспособной отобразить всю плоскость Лобачевского.

Плоскостью служит внутренность круга, прямой хорда круга без концов, а точкой точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды.

В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Сферическая геометрия- геометрия положительной кривизны.

В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для прокладывания дальних маршрутов, вычисления траектории полета, в современной физике и во многих других естественных науках.

Хотелось бы остановиться на эволюции принципа относительности в физике и её связи с геометрией. Теория относительности – теория, описывающая универсальные пространственно- временные свойства физических процессов.

Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой. Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия. Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни. Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию.

В процессе работы рассмотрены основные положения геометрии Лобачевского, доказана её непротиворечивость, указаны некоторые сферы её применения в реальной жизни: в физике( в частности астрономии и космонавтике) и многих других естественных науках. Работа показывает существование геометрии, отличной от Евклидовой, ее суть и развитие. Изучая литературу я понял,что из неевклидовой геометрии пошел новый научный замысел. В прежние времена одна научная теория сменяла другую, стирая прежнюю. Теперь стала действовать другая схема: теория, объясняющая явления по существу, но все же с дефектами в отдельных пунктах, заменяется более общей, содержащей параметры, при частных значениях которых она возвращается к установившейся. На основе идей Н.И. Лобачевского геометрия разрослась в огромное здание, в котором, изучаемая нами, геометрия Евклида составляет основной камень в его фундаменте. Неевклидова геометрия почти полностью решила задачу обоснования геометрии Евклида и дала схему обоснования всякой дедуктивной науки. Неевклидова геометрия получила применение в анализе и теории функций –одном из основных вопросов теории познания. Она в широком смысле составляет базу важнейших учений современной физики. Развитие неевклидовой геометрии продолжается. Поставленная перед проектом цель достигнута.

1. Александров П. С. Что такое неевклидова геометрия. – М.: УРСС, Башмакова И.Г. Как возникла геометрия. В кн. ДЭ, 2-е изд. Т С Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. М.-Л.: Гиз., Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. – М: Гостехиздат, Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. – М.: Изд-во «Знание», Клайн М. Математика. Поиск истины. – М.: «Мир», Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. – М.: Учпедгиз, Сосов Е.Н. Геометрия Лобачевского и её применение в специальной теории относительности. – Казань: Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения / 2-е изд. М.: ГИФМЛ, 1961.