Thermodynamic properties of small particles in external magnetic field Prof. Sergei I. Mukhin Moscow State Institute for Steel and Alloys, Moscow, Russia, and Leiden Institute of Physics (LION), Leiden University, Leiden, The Netherlands Jos de Jongh (Netherlands) Fabian Mettes Marco Evangelisti (Italy) Yakov Volokitin Lecture I Nanoclusters vs bulk materials: important differences. Random Hamiltonian matrix and theory of its eigenvalue statistics Lecture II Applications of the random matrix theory to thermodynamics of nanoclusters

One-dimensional infinite potential well The wave-function of the quantum particles is a standing wave, and the energy levels are quantized: A more realistic potential well The Hamiltonian of a quantum particle in an external potential V(x) in 1D

Статистика энергетических уровней тяжелых ядер Вигнер, Дайсон, Мета, Година (Gaudin) ( ) и изолировнных металлических гранул (Горьков, Элиашберг (1965)) Ансамбль случайных гамильтоновых матриц: гипотеза о геометрических корреляциях, теорема Портера Переходы между ансамблями разной симметрии в магнитном поле «Броуновское движение» энергетических уровней Универсальность корреляций в ансамблях случайных матриц и универсальность флуктуаций проводимости в неупорядоченных проводниках (Альтшулер, Шкловский, Имри (1986г)) Квантовые точки (Альтшулер, Ли, Вебб, Бейнаккер, ван Хутен (1991))

Вигнер и Дайсон исследовали ансамбль из случайных эрмитовых матриц размерности распределенных по закону: где с – нормировочная константа. Если, то ансамбль называется гауссовым. Следствие 1: то есть матричные элементы распределены независимо ! Следствие 2: в пределе распределение уровней энергии не зависит от вида функции -это называется универсальностью спектральных корреляций (соблюдается вдали от границ спектра ). Уровни энергии - это собственные значения матрицы и находятся из уравнения

Важный вопрос: возможно ли отделить распределение N уровней энергии E i от распределения остальных (NxN – N) случайных величин, характеризующих матричные элементы гамильтоновой матрицы H размерности NxN ? Ответ (теорема Портера, 1960): Возможно! Начнем объяснение поэтапно: 1.Существует унитарное преобразование с матрицей U = (A 1 A 2...A N ) из N собственных векторов матрицы H : HA n =E n A n, диагонализующее гамильтонову матрицу системы H: 2. Преход к новому базису не влияет на функцию распределния, однако, указывает, что вероятность случайной матрицы H зависит лишь от ее спектра, а остальные (NxN – N) случайных величин распределены однородно:

Следовательно, для перехода к распределению по энергетическим уровням от распределения по матричным элементам необходим якобиан перехода J, который связывает объемы в пространстве матричных элементов dH ij с объемами в пространстве собственных векторов dU n, впервые найденный Портером (теорема Портера, 1960): Видно, что распределение по уровням энергии можно интерпретировать как распределение Гиббса, где параметр B, а u(E i -E j ) – «потенциал взаимодействия частиц» с «координатами» Ei,Ej, наконец V(E k )- «потенциал» действующий на каждую «частицу». При этом, из теоремы Портера следует что u(Ei-Ej)=log|Ei-Ej|, т.е. имеет вид кулоновского отталкивания между N «заряженными стержнями» на линии вдоль оси E, расположенных в точках с координатами Ei, Ej. Такие корреляции между случайными уровнями энергии Ei называются геометрическими.

The Wigners Ansatz for the Gaussian ensemble of random NxN Hermitian matrices H : In the limit the spectral correlations become universal with the symmetry index counts number of degrees of freedom of the Hamiltonian matrix element, the possible values are: 1, 2 and 4. So far, gaussian P(H) gives distribution of the matrix elements as the independent random variables. The transition from P(H) to eigenvalues distribution P(E n ) is due to Porter (1960): Step 1 Step 2 matrix space volume eigenvectors U

Step 3 Step 4 Step 5 where levels distribution function is: Equivalent form for the distribution function: Conclusion: Wigner-Dysons Gaussian ensemble has only geometrical spectral correlations due to J({E}) the Porters theorem

Mapping onto a system of repelling charges in a parabolic potential well at the temperature 1

=1 (!)

=2 (!)

=4 (!)

The problem: how the GOE to GUE crossover looks like when an external magnetic field is switched on ? 1.Does the symmetry index change abruptly ? 2.How the change of the index is reflected in the thermodynamic properties of the nanoclusters? 3.What are predictions for temperature/field dependences change of the specific heat and magnetic susceptibility?

A real NxN antisymmetric matrix A is independently distributed from real symmetric matrix H 0. Both matrices are distributed with the same Gaussian distribution, so that the distribution of the complete Hamiltonian H is : The variance determines the mean level spacing : The distribution P(H) interpolates between GOE for and GUE for Pandey and Mehta (1983,1991) Hamiltonian for GOE to GUE transition in external magnetic field

Двухуровневая корреляционная функция во внешнем магнитном поле: аналитическое решение Pandey&Mehta (1991) ; баллистическое движение

диффузия R>>l l – длина своб.пробега R-размер образца; v f -скорость Ферми; Fram&Pichard (1995); Bohigas et al. (1995)

Beenakker, Rev.Mod.Phys. (1997)

red line: h=0.02; blue line: h=1.62; green line: h=0.82

Ограничения теории случайных матриц Вигнера-Дайсона где E c –энергия Таулеса, обратно пропорциональная времени диффузии электрона через частицу размера L, где D- коэффициент диффузии электрона Подтверждение распределния случайных энергетических уровней по Вигнеру -Дайсону микроскопической теорией : Efetov (1982,83); Altshuler& Shklovskii (1986); Jalabert,Pichard, Beenakker (1993)