Инверсия (в геометрии) Презентацию подготовила Ученица 11-А класса Гимназии 24 Г.Севастополя Скрипцова Наталия

Инверсия - относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечнойй переводится в себя.

Определение Зафиксируем окружность с центром в точке радиуса. Тогда инверсией точки относительно этой окружности называется такая точка, которая лежит на луче, а на расстояние наложено условие: Если считать, что центр окружности совпадает с началом координат, то можно сказать, что точка имеет тот же полярный угол, что и, а расстояние вычисляется по указанной выше формуле.

В терминах комплексных чисел преобразование инверсии выражается достаточно просто, если считать, что центр окружности совпадает с началом координат: С помощью сопряжённого элемента можно получить более простую форму:

Применение инверсии (в точке- середине доски) к изображению шахматной доски даёт интересную картинку

Свойства Очевидно, что любая точка, лежащая на окружности, относительно которой производится преобразование инверсии, при отображении переходит в себя же. Любая точка, лежащая внутри окружности, переходит во внешнюю область, и наоборот. Считается, что центр окружности переходит в точку "бесконечность", а точка "бесконечность" наоборот, в центр окружности: Очевидно, что повторное применение преобразования инверсии обращает первое её применение все точки возвращаются обратно:

Обобщённые окружности Обобщённая окружность это либо окружность, либо прямая (считается, что это тоже окружность, но имеющая бесконечный радиус). Ключевое свойство преобразования инверсии что при его применении обобщённая окружность всегда переходит в обобщённую окружность(подразумевается, что преобразование инверсии поточечнойй применяется ко всем точкам фигуры). Сейчас мы увидим, что именно происходит с прямыми и окружностями при преобразовании инверсии.

Инверсия прямой, проходящей через точку Утверждается, что любая прямая, проходящая через, после преобразования инверсии не меняется. В самом деле, любая точка этой прямой, кроме и, переходит по определению тоже в точку этой прямой (причём в итоге получившиеся точки заполнят всю прямую целиком, поскольку преобразование инверсии обратимо). Остаются точки и, но при инверсии они переходят друг в друга, поэтому доказательство завершено.

Инверсия окружности, проходящей через точку Любая такая окружность перейдёт в прямую, не проходящую через точку. В самом деле, это сразу следует из предыдущего пункта, если мы вспомним об обратимости преобразования инверсии.

Инверсия окружности, не проходящей через точку Любая такая окружность перейдёт в окружность, по-прежнему не проходящую через точку.

Параметры окружности после инверсии Требуется по заданной окружности (по известным координатам её центра и радиусу ) определить, в какую именно окружность она перейдёт после преобразования инверсии относительно окружности с центром в и радиусом. Т.е. мы решаем задачу, описанную в предыдущем пункте, но хотим получить решение в аналитическом виде. Ответ выглядит в виде формул: Где

Мнемонически эти формулы можно запомнить так: центр окружности переходит "почти" как по преобразованию инверсии, только в знаменателе помимо появилось ещё вычитаемое.

Построение Построение образа точки при инверсии относительно окружности Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом: Если расстояние от P до O больше радиуса окружности провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P' Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P' Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой